Математический анализ Примеры

$f (x) = 6 x - 9 + 3 x^{5}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int 6 x - 9 + 3 x^{5} d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 6 x d x + \int - 9 d x + \int 3 x^{5} d x$

Этап 4

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$6 \int x d x + \int - 9 d x + \int 3 x^{5} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$6 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 9 d x + \int 3 x^{5} d x$

Этап 6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$6 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 9 x + C + \int 3 x^{5} d x$

Этап 7

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$6 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 9 x + C + \int 3 x^{5} d x$

Этап 8

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$6 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 9 x + C + 3 \int x^{5} d x$

Этап 9

По правилу степени интеграл $x^{5}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$6 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 9 x + C + 3 (\frac{1}{6} x^{6} + C)$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Объединим $\frac{1}{6}$ и $x^{6}$ .

$6 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 9 x + C + 3 (\frac{x^{6}}{6} + C)$

Этап 10.2

Упростим.

$3 x^{2} - 9 x + 3 \frac{x^{6}}{6} + C$

Этап 10.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Объединим $3$ и $\frac{x^{6}}{6}$ .

$3 x^{2} - 9 x + \frac{3 x^{6}}{6} + C$

Этап 10.3.2

Сократим общий множитель $3$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{6}$ .

$3 x^{2} - 9 x + \frac{3 (x^{6})}{6} + C$

Этап 10.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$3 x^{2} - 9 x + \frac{3 x^{6}}{3 \cdot 2} + C$

Этап 10.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$3 x^{2} - 9 x + \frac{3 x^{6}}{3 \cdot 2} + C$

Этап 10.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$3 x^{2} - 9 x + \frac{x^{6}}{2} + C$

Этап 10.4

Изменим порядок членов.

$3 x^{2} - 9 x + \frac{1}{2} x^{6} + C$

Этап 11

Ответ ― первообразная функции $f (x) = 6 x - 9 + 3 x^{5}$ .

$F (x) =$ $3 x^{2} - 9 x + \frac{1}{2} x^{6} + C$