Математический анализ Примеры

$f (x) = - x^{4} + 4 x^{2} - 3 x - 2$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $- x^{4} + 4 x^{2} - 3 x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{4}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 1.2.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 4 x^{3} + 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $4$ .

$- 4 x^{3} + 8 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 x^{3} + 8 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 4 x^{3} + 8 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 1.4.3

Умножим $- 3$ на $1$ .

$- 4 x^{3} + 8 x - 3 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 1.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 4 x^{3} + 8 x - 3 + 0$

Этап 1.5.2

Добавим $- 4 x^{3} + 8 x - 3$ и $0$ .

$- 4 x^{3} + 8 x - 3$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- 4 x^{3} + 8 x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x^{3}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Этап 2.2.3

Умножим $3$ на $- 4$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 8 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 3)$

Этап 2.3.3

Умножим $8$ на $1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 8 + \frac{d}{d x} (- 3)$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 8 + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $- 12 x^{2} + 8$ и $0$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 8$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- 4 x^{3} + 8 x - 3 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{4}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 4.1.2.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 4 x^{3} + 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $2$ на $4$ .

$- 4 x^{3} + 8 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 4.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 x^{3} + 8 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 4.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 4 x^{3} + 8 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 4.1.4.3

Умножим $- 3$ на $1$ .

$- 4 x^{3} + 8 x - 3 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 4.1.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 4 x^{3} + 8 x - 3 + 0$

Этап 4.1.5.2

Добавим $- 4 x^{3} + 8 x - 3$ и $0$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 8 x - 3$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 4 x^{3} + 8 x - 3$ .

$- 4 x^{3} + 8 x - 3$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 4 x^{3} + 8 x - 3 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 4 x^{3} + 8 x - 3 = 0$

Этап 5.2

Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.

$x \approx - 1.57371511, 0.40927902, 1.16443609$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = - 1.57371511, 0.40927902, 1.16443609$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = - 1.57371511$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 12 {(- 1.57371511)}^{2} + 8$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведем $- 1.57371511$ в степень $2$ .

$- 12 \cdot 2.47657926 + 8$

Этап 9.1.2

Умножим $- 12$ на $2.47657926$ .

$- 29.71895122 + 8$

Этап 9.2

Добавим $- 29.71895122$ и $8$ .

$- 21.71895122$

Этап 10

$x = - 1.57371511$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 1.57371511$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = - 1.57371511$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1.57371511$ .

$f (- 1.57371511) = - {(- 1.57371511)}^{4} + 4 {(- 1.57371511)}^{2} - 3 \cdot - 1.57371511 - 2$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Возведем $- 1.57371511$ в степень $4$ .

$f (- 1.57371511) = - 1 \cdot 6.13344487 + 4 {(- 1.57371511)}^{2} - 3 \cdot - 1.57371511 - 2$

Этап 11.2.1.2

Умножим $- 1$ на $6.13344487$ .

$f (- 1.57371511) = - 6.13344487 + 4 {(- 1.57371511)}^{2} - 3 \cdot - 1.57371511 - 2$

Этап 11.2.1.3

Возведем $- 1.57371511$ в степень $2$ .

$f (- 1.57371511) = - 6.13344487 + 4 \cdot 2.47657926 - 3 \cdot - 1.57371511 - 2$

Этап 11.2.1.4

Умножим $4$ на $2.47657926$ .

$f (- 1.57371511) = - 6.13344487 + 9.90631707 - 3 \cdot - 1.57371511 - 2$

Этап 11.2.1.5

Умножим $- 3$ на $- 1.57371511$ .

$f (- 1.57371511) = - 6.13344487 + 9.90631707 + 4.72114535 - 2$

Этап 11.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Добавим $- 6.13344487$ и $9.90631707$ .

$f (- 1.57371511) = 3.7728722 + 4.72114535 - 2$

Этап 11.2.2.2

Добавим $3.7728722$ и $4.72114535$ .

$f (- 1.57371511) = 8.49401755 - 2$

Этап 11.2.2.3

Вычтем $2$ из $8.49401755$ .

$f (- 1.57371511) = 6.49401755$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $6.49401755$ .

$y = 6.49401755$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = 0.40927902$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 12 {(0.40927902)}^{2} + 8$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Возведем $0.40927902$ в степень $2$ .

$- 12 \cdot 0.16750932 + 8$

Этап 13.1.2

Умножим $- 12$ на $0.16750932$ .

$- 2.01011185 + 8$

Этап 13.2

Добавим $- 2.01011185$ и $8$ .

$5.98988814$

Этап 14

$x = 0.40927902$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0.40927902$ — локальный минимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = 0.40927902$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.40927902$ .

$f (0.40927902) = - {(0.40927902)}^{4} + 4 {(0.40927902)}^{2} - 3 \cdot 0.40927902 - 2$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Возведем $0.40927902$ в степень $4$ .

$f (0.40927902) = - 1 \cdot 0.02805937 + 4 {(0.40927902)}^{2} - 3 \cdot 0.40927902 - 2$

Этап 15.2.1.2

Умножим $- 1$ на $0.02805937$ .

$f (0.40927902) = - 0.02805937 + 4 {(0.40927902)}^{2} - 3 \cdot 0.40927902 - 2$

Этап 15.2.1.3

Возведем $0.40927902$ в степень $2$ .

$f (0.40927902) = - 0.02805937 + 4 \cdot 0.16750932 - 3 \cdot 0.40927902 - 2$

Этап 15.2.1.4

Умножим $4$ на $0.16750932$ .

$f (0.40927902) = - 0.02805937 + 0.67003728 - 3 \cdot 0.40927902 - 2$

Этап 15.2.1.5

Умножим $- 3$ на $0.40927902$ .

$f (0.40927902) = - 0.02805937 + 0.67003728 - 1.22783707 - 2$

Этап 15.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Добавим $- 0.02805937$ и $0.67003728$ .

$f (0.40927902) = 0.64197791 - 1.22783707 - 2$

Этап 15.2.2.2

Вычтем $1.22783707$ из $0.64197791$ .

$f (0.40927902) = - 0.58585916 - 2$

Этап 15.2.2.3

Вычтем $2$ из $- 0.58585916$ .

$f (0.40927902) = - 2.58585916$

Этап 15.2.3

Окончательный ответ: $- 2.58585916$ .

$y = - 2.58585916$

Этап 16

Найдем вторую производную в $x = 1.16443609$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 12 {(1.16443609)}^{2} + 8$

Этап 17

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1

Возведем $1.16443609$ в степень $2$ .

$- 12 \cdot 1.3559114 + 8$

Этап 17.1.2

Умножим $- 12$ на $1.3559114$ .

$- 16.27093691 + 8$

Этап 17.2

Добавим $- 16.27093691$ и $8$ .

$- 8.27093691$

Этап 18

$x = 1.16443609$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 1.16443609$ — локальный максимум

Этап 19

Найдем значение y, если $x = 1.16443609$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1.16443609$ .

$f (1.16443609) = - {(1.16443609)}^{4} + 4 {(1.16443609)}^{2} - 3 \cdot 1.16443609 - 2$

Этап 19.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.1

Возведем $1.16443609$ в степень $4$ .

$f (1.16443609) = - 1 \cdot 1.83849575 + 4 {(1.16443609)}^{2} - 3 \cdot 1.16443609 - 2$

Этап 19.2.1.2

Умножим $- 1$ на $1.83849575$ .

$f (1.16443609) = - 1.83849575 + 4 {(1.16443609)}^{2} - 3 \cdot 1.16443609 - 2$

Этап 19.2.1.3

Возведем $1.16443609$ в степень $2$ .

$f (1.16443609) = - 1.83849575 + 4 \cdot 1.3559114 - 3 \cdot 1.16443609 - 2$

Этап 19.2.1.4

Умножим $4$ на $1.3559114$ .

$f (1.16443609) = - 1.83849575 + 5.42364563 - 3 \cdot 1.16443609 - 2$

Этап 19.2.1.5

Умножим $- 3$ на $1.16443609$ .

$f (1.16443609) = - 1.83849575 + 5.42364563 - 3.49330827 - 2$

Этап 19.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.2.1

Добавим $- 1.83849575$ и $5.42364563$ .

$f (1.16443609) = 3.58514988 - 3.49330827 - 2$

Этап 19.2.2.2

Вычтем $3.49330827$ из $3.58514988$ .

$f (1.16443609) = 0.09184161 - 2$

Этап 19.2.2.3

Вычтем $2$ из $0.09184161$ .

$f (1.16443609) = - 1.90815838$

Этап 19.2.3

Окончательный ответ: $- 1.90815838$ .

$y = - 1.90815838$

Этап 20

Это локальные экстремумы $f (x) = - x^{4} + 4 x^{2} - 3 x - 2$ .

$(- 1.57371511, 6.49401755)$ — локальный максимум

$(0.40927902, - 2.58585916)$ — локальный минимум

$(1.16443609, - 1.90815838)$ — локальный максимум

Этап 21