Математический анализ Примеры

$\sum_{i = 1}^{n} {(3 i - 1)}^{2}$

Этап 1

Упростим суммирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(3 i - 1)}^{2}$ в виде $(3 i - 1) (3 i - 1)$ .

$(3 i - 1) (3 i - 1)$

Этап 1.2

Развернем $(3 i - 1) (3 i - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 i (3 i - 1) - 1 (3 i - 1)$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 i (3 i) + 3 i \cdot - 1 - 1 (3 i - 1)$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 i (3 i) + 3 i \cdot - 1 - 1 (3 i) - 1 \cdot - 1$

Этап 1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 \cdot 3 i \cdot i + 3 i \cdot - 1 - 1 (3 i) - 1 \cdot - 1$

Этап 1.3.1.2

Умножим $i$ на $i$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.2.1

Перенесем $i$ .

$3 \cdot 3 (i \cdot i) + 3 i \cdot - 1 - 1 (3 i) - 1 \cdot - 1$

Этап 1.3.1.2.2

Умножим $i$ на $i$ .

$3 \cdot 3 i^{2} + 3 i \cdot - 1 - 1 (3 i) - 1 \cdot - 1$

Этап 1.3.1.3

Умножим $3$ на $3$ .

$9 i^{2} + 3 i \cdot - 1 - 1 (3 i) - 1 \cdot - 1$

Этап 1.3.1.4

Умножим $- 1$ на $3$ .

$9 i^{2} - 3 i - 1 (3 i) - 1 \cdot - 1$

Этап 1.3.1.5

Умножим $3$ на $- 1$ .

$9 i^{2} - 3 i - 3 i - 1 \cdot - 1$

Этап 1.3.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$9 i^{2} - 3 i - 3 i + 1$

Этап 1.3.2

Вычтем $3 i$ из $- 3 i$ .

$9 i^{2} - 6 i + 1$

Этап 1.4

Переделаем суммирование.

$\sum_{i = 1}^{n} 9 i^{2} - 6 i + 1$

Этап 2

Формула суммирования констант:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Этап 3

Подставим значения в формулу.

$(9 i^{2} - 6 i + 1) (n)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$(9 \cdot - 1 - 6 i + 1) n$

Этап 4.1.2

Умножим $9$ на $- 1$ .

$(- 9 - 6 i + 1) n$

Этап 4.2

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $- 9$ и $1$ .

$(- 8 - 6 i) n$

Этап 4.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 8 n - 6 i n$