Математический анализ Примеры

$x^{4} (x - 2) (x + 3)$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{4} (x - 2)$ и $g (x) = x + 3$ .

$x^{4} (x - 2) \frac{d}{d x} [x + 3] + (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{4} (x - 2)]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$x^{4} (x - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{4} (x - 2)]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{4} (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} [3]) + (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{4} (x - 2)]$

Этап 1.2.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{4} (x - 2) (1 + 0) + (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{4} (x - 2)]$

Этап 1.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$x^{4} (x - 2) \cdot 1 + (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{4} (x - 2)]$

Этап 1.2.4.2

Умножим $x^{4}$ на $1$ .

$x^{4} (x - 2) + (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{4} (x - 2)]$

Этап 1.3

$x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} \frac{d}{d x} [x - 2] + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 1.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 1.4.3

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 1.4.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 1.4.4.2

Умножим $x^{4}$ на $1$ .

$x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 1.4.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} + (x - 2) (4 x^{3}))$

Этап 1.4.6

Перенесем $4$ влево от $x - 2$ .

$x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} + 4 \cdot (x - 2) x^{3})$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + (x + 3) (x^{4} + 4 (x - 2) x^{3})$

Этап 1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + (x + 3) (x^{4} + (4 x + 4 \cdot - 2) x^{3})$

Этап 1.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + (x + 3) (x^{4} + 4 x \cdot x^{3} + 4 \cdot - 2 x^{3})$

Этап 1.5.4

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + (x + 3) x^{4} + (x + 3) (4 x \cdot x^{3}) + (x + 3) (4 \cdot - 2 x^{3})$

Этап 1.5.5

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + (x + 3) (4 x \cdot x^{3}) + (x + 3) (4 \cdot - 2 x^{3})$

Этап 1.5.6

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + (x + 3) (4 \cdot - 2 x^{3})$

Этап 1.5.7

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Этап 1.5.8

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.8.1

Умножим $x^{4}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.8.1.1

Умножим $x^{4}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.8.1.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{4} x^{1} + x^{4} \cdot - 2 + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Этап 1.5.8.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{4 + 1} + x^{4} \cdot - 2 + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Этап 1.5.8.1.2

Добавим $4$ и $1$ .

$x^{5} + x^{4} \cdot - 2 + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Этап 1.5.8.2

Перенесем $- 2$ влево от $x^{4}$ .

$x^{5} - 2 \cdot x^{4} + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Этап 1.5.8.3

Умножим $x$ на $x^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.8.3.1

Умножим $x$ на $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.8.3.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{1} x^{4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Этап 1.5.8.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{1 + 4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Этап 1.5.8.3.2

Добавим $1$ и $4$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Этап 1.5.8.4

Умножим $x$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.8.4.1

Перенесем $x^{3}$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + x (4 (x^{3} x)) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Этап 1.5.8.4.2

Умножим $x^{3}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.8.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + x (4 (x^{3} x^{1})) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Этап 1.5.8.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + x (4 x^{3 + 1}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Этап 1.5.8.4.3

Добавим $3$ и $1$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + x (4 x^{4}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Этап 1.5.8.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 (x^{1} x^{4}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Этап 1.5.8.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{1 + 4} + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Этап 1.5.8.7

Добавим $1$ и $4$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Этап 1.5.8.8

Умножим $x$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.8.8.1

Перенесем $x^{3}$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 3 (4 (x^{3} x)) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Этап 1.5.8.8.2

Умножим $x^{3}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.8.8.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 3 (4 (x^{3} x^{1})) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Этап 1.5.8.8.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 3 (4 x^{3 + 1}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Этап 1.5.8.8.3

Добавим $3$ и $1$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 3 (4 x^{4}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Этап 1.5.8.9

Умножим $4$ на $3$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Этап 1.5.8.10

Умножим $4$ на $- 2$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} + x (- 8 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Этап 1.5.8.11

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} - 8 (x^{1} x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Этап 1.5.8.12

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} - 8 x^{1 + 3} + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Этап 1.5.8.13

Добавим $1$ и $3$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} - 8 x^{4} + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Этап 1.5.8.14

Умножим $4$ на $- 2$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} - 8 x^{4} + 3 (- 8 x^{3})$

Этап 1.5.8.15

Умножим $- 8$ на $3$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} - 8 x^{4} - 24 x^{3}$

Этап 1.5.8.16

Вычтем $8 x^{4}$ из $12 x^{4}$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 4 x^{4} - 24 x^{3}$

Этап 1.5.8.17

Добавим $x^{5}$ и $4 x^{5}$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + 5 x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{4} - 24 x^{3}$

Этап 1.5.8.18

Добавим $3 x^{4}$ и $4 x^{4}$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + 5 x^{5} + 7 x^{4} - 24 x^{3}$

Этап 1.5.8.19

Добавим $x^{5}$ и $5 x^{5}$ .

$6 x^{5} - 2 x^{4} + 7 x^{4} - 24 x^{3}$

Этап 1.5.8.20

Добавим $- 2 x^{4}$ и $7 x^{4}$ .

$6 x^{5} + 5 x^{4} - 24 x^{3}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $6 x^{5} + 5 x^{4} - 24 x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{3}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{3})$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x^{5}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{3})$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$f'' (x) = 6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{3})$

Этап 2.2.3

Умножим $5$ на $6$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} + \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{3})$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{4}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} + 5 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{3})$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} + 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{3})$

Этап 2.3.3

Умножим $4$ на $5$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 24 x^{3})$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 24 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 24$ является константой относительно $x$ , производная $- 24 x^{3}$ по $x$ равна $- 24 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} + 20 x^{3} - 24 \frac{d}{d x} x^{3}$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} + 20 x^{3} - 24 (3 x^{2})$

Этап 2.4.3

Умножим $3$ на $- 24$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} + 20 x^{3} - 72 x^{2}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$6 x^{5} + 5 x^{4} - 24 x^{3} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$f' (x) = x^{4} (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 3) + (x + 3) \frac{d}{d x} (x^{4} (x - 2))$

Этап 4.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

По правилу суммы производная $x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f' (x) = x^{4} (x - 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3)) + (x + 3) \frac{d}{d x} (x^{4} (x - 2))$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = x^{4} (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} (3)) + (x + 3) \frac{d}{d x} (x^{4} (x - 2))$

Этап 4.1.2.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = x^{4} (x - 2) (1 + 0) + (x + 3) \frac{d}{d x} (x^{4} (x - 2))$

Этап 4.1.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f' (x) = x^{4} (x - 2) \cdot 1 + (x + 3) \frac{d}{d x} (x^{4} (x - 2))$

Этап 4.1.2.4.2

Умножим $x^{4}$ на $1$ .

$f' (x) = x^{4} (x - 2) + (x + 3) \frac{d}{d x} (x^{4} (x - 2))$

Этап 4.1.3

$f' (x) = x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} \frac{d}{d x} (x - 2) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Этап 4.1.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f' (x) = x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Этап 4.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} (1 + \frac{d}{d x} (- 2)) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Этап 4.1.4.3

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Этап 4.1.4.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f' (x) = x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Этап 4.1.4.4.2

Умножим $x^{4}$ на $1$ .

$f' (x) = x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} + (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Этап 4.1.4.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f' (x) = x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} + (x - 2) (4 x^{3}))$

Этап 4.1.4.6

Перенесем $4$ влево от $x - 2$ .

$f' (x) = x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} + 4 \cdot ((x - 2) x^{3}))$

Этап 4.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + (x + 3) (x^{4} + 4 (x - 2) x^{3})$

Этап 4.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + (x + 3) (x^{4} + (4 x + 4 \cdot - 2) x^{3})$

Этап 4.1.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + (x + 3) (x^{4} + 4 x \cdot x^{3} + 4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Этап 4.1.5.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + (x + 3) x^{4} + (x + 3) (4 x \cdot x^{3}) + (x + 3) (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Этап 4.1.5.5

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + (x + 3) (4 x \cdot x^{3}) + (x + 3) (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Этап 4.1.5.6

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + (x + 3) (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Этап 4.1.5.7

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Этап 4.1.5.8

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.8.1

Умножим $x^{4}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.8.1.1

Умножим $x^{4}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.8.1.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Этап 4.1.5.8.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = x^{4 + 1} + x^{4} \cdot - 2 + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Этап 4.1.5.8.1.2

Добавим $4$ и $1$ .

$f' (x) = x^{5} + x^{4} \cdot - 2 + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Этап 4.1.5.8.2

Перенесем $- 2$ влево от $x^{4}$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Этап 4.1.5.8.3

Умножим $x$ на $x^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.8.3.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{1 + 4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Этап 4.1.5.8.3.2

Добавим $1$ и $4$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Этап 4.1.5.8.4

Умножим $x$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.8.4.1

Перенесем $x^{3}$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + x (4 (x^{3} x)) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Этап 4.1.5.8.4.2

Умножим $x^{3}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.8.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + x (4 (x^{3} x)) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Этап 4.1.5.8.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + x (4 x^{3 + 1}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Этап 4.1.5.8.4.3

Добавим $3$ и $1$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + x (4 x^{4}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Этап 4.1.5.8.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 (x \cdot x^{4}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Этап 4.1.5.8.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{1 + 4} + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Этап 4.1.5.8.7

Добавим $1$ и $4$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Этап 4.1.5.8.8

Умножим $x$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.8.8.1

Перенесем $x^{3}$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 3 (4 (x^{3} x)) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Этап 4.1.5.8.8.2

Умножим $x^{3}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.8.8.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 3 (4 (x^{3} x)) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Этап 4.1.5.8.8.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 3 (4 x^{3 + 1}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Этап 4.1.5.8.8.3

Добавим $3$ и $1$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 3 (4 x^{4}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Этап 4.1.5.8.9

Умножим $4$ на $3$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Этап 4.1.5.8.10

Умножим $4$ на $- 2$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} + x (- 8 x^{3}) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Этап 4.1.5.8.11

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} - 8 (x \cdot x^{3}) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Этап 4.1.5.8.12

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} - 8 x^{1 + 3} + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Этап 4.1.5.8.13

Добавим $1$ и $3$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} - 8 x^{4} + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Этап 4.1.5.8.14

Умножим $4$ на $- 2$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} - 8 x^{4} + 3 (- 8 x^{3})$

Этап 4.1.5.8.15

Умножим $- 8$ на $3$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} - 8 x^{4} - 24 x^{3}$

Этап 4.1.5.8.16

Вычтем $8 x^{4}$ из $12 x^{4}$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 4 x^{4} - 24 x^{3}$

Этап 4.1.5.8.17

Добавим $x^{5}$ и $4 x^{5}$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + 5 x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{4} - 24 x^{3}$

Этап 4.1.5.8.18

Добавим $3 x^{4}$ и $4 x^{4}$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + 5 x^{5} + 7 x^{4} - 24 x^{3}$

Этап 4.1.5.8.19

Добавим $x^{5}$ и $5 x^{5}$ .

$f' (x) = 6 x^{5} - 2 x^{4} + 7 x^{4} - 24 x^{3}$

Этап 4.1.5.8.20

Добавим $- 2 x^{4}$ и $7 x^{4}$ .

$f' (x) = 6 x^{5} + 5 x^{4} - 24 x^{3}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $6 x^{5} + 5 x^{4} - 24 x^{3}$ .

$6 x^{5} + 5 x^{4} - 24 x^{3}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $6 x^{5} + 5 x^{4} - 24 x^{3} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$6 x^{5} + 5 x^{4} - 24 x^{3} = 0$

Этап 5.2

Вынесем множитель $x^{3}$ из $6 x^{5} + 5 x^{4} - 24 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $6 x^{5}$ .

$x^{3} (6 x^{2}) + 5 x^{4} - 24 x^{3} = 0$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $x^{3}$ из $5 x^{4}$ .

$x^{3} (6 x^{2}) + x^{3} (5 x) - 24 x^{3} = 0$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $x^{3}$ из $- 24 x^{3}$ .

$x^{3} (6 x^{2}) + x^{3} (5 x) + x^{3} \cdot - 24 = 0$

Этап 5.2.4

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{3} (6 x^{2}) + x^{3} (5 x)$ .

$x^{3} (6 x^{2} + 5 x) + x^{3} \cdot - 24 = 0$

Этап 5.2.5

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{3} (6 x^{2} + 5 x) + x^{3} \cdot - 24$ .

$x^{3} (6 x^{2} + 5 x - 24) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{3} = 0$

$6 x^{2} + 5 x - 24 = 0$

Этап 5.4

Приравняем $x^{3}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Приравняем $x^{3}$ к $0$ .

$x^{3} = 0$

Этап 5.4.2

Решим $x^{3} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Этап 5.4.2.2

Упростим $\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 5.4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$x = 0$

Этап 5.5

Приравняем $6 x^{2} + 5 x - 24$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $6 x^{2} + 5 x - 24$ к $0$ .

$6 x^{2} + 5 x - 24 = 0$

Этап 5.5.2

Решим $6 x^{2} + 5 x - 24 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 5.5.2.2

Подставим значения $a = 6$ , $b = 5$ и $c = - 24$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (6 \cdot - 24)}}{2 \cdot 6}$

Этап 5.5.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.1.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 6 \cdot - 24}}{2 \cdot 6}$

Этап 5.5.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 6 \cdot - 24$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $6$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24 \cdot - 24}}{2 \cdot 6}$

Этап 5.5.2.3.1.2.2

Умножим $- 24$ на $- 24$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 576}}{2 \cdot 6}$

Этап 5.5.2.3.1.3

Добавим $25$ и $576$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{601}}{2 \cdot 6}$

Этап 5.5.2.3.2

Умножим $2$ на $6$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{601}}{12}$

Этап 5.5.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{5 - \sqrt{601}}{12}, - \frac{5 + \sqrt{601}}{12}$

Этап 5.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $x^{3} (6 x^{2} + 5 x - 24) = 0$ верно.

$x = 0, - \frac{5 - \sqrt{601}}{12}, - \frac{5 + \sqrt{601}}{12}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0, - \frac{5 - \sqrt{601}}{12}, - \frac{5 + \sqrt{601}}{12}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$30 {(0)}^{4} + 20 {(0)}^{3} - 72 {(0)}^{2}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$30 \cdot 0 + 20 {(0)}^{3} - 72 {(0)}^{2}$

Этап 9.1.2

Умножим $30$ на $0$ .

$0 + 20 {(0)}^{3} - 72 {(0)}^{2}$

Этап 9.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 + 20 \cdot 0 - 72 {(0)}^{2}$

Этап 9.1.4

Умножим $20$ на $0$ .

$0 + 0 - 72 {(0)}^{2}$

Этап 9.1.5

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 + 0 - 72 \cdot 0$

Этап 9.1.6

Умножим $- 72$ на $0$ .

$0 + 0 + 0$

Этап 9.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$0 + 0$

Этап 9.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$0$

Этап 10

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - \frac{5 + \sqrt{601}}{12}) \cup (- \frac{5 + \sqrt{601}}{12}, 0) \cup (0, - \frac{5 - \sqrt{601}}{12}) \cup (- \frac{5 - \sqrt{601}}{12}, \infty)$

Этап 10.2

Подставим любое число такое, что $- 5$ , из интервала $(- \infty, - \frac{5 + \sqrt{601}}{12})$ в первую производную $6 x^{5} + 5 x^{4} - 24 x^{3}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 5$ .

$f' (- 5) = 6 {(- 5)}^{5} + 5 {(- 5)}^{4} - 24 {(- 5)}^{3}$

Этап 10.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1.1

Возведем $- 5$ в степень $5$ .

$f' (- 5) = 6 \cdot - 3125 + 5 {(- 5)}^{4} - 24 {(- 5)}^{3}$

Этап 10.2.2.1.2

Умножим $6$ на $- 3125$ .

$f' (- 5) = - 18750 + 5 {(- 5)}^{4} - 24 {(- 5)}^{3}$

Этап 10.2.2.1.3

Возведем $- 5$ в степень $4$ .

$f' (- 5) = - 18750 + 5 \cdot 625 - 24 {(- 5)}^{3}$

Этап 10.2.2.1.4

Умножим $5$ на $625$ .

$f' (- 5) = - 18750 + 3125 - 24 {(- 5)}^{3}$

Этап 10.2.2.1.5

Возведем $- 5$ в степень $3$ .

$f' (- 5) = - 18750 + 3125 - 24 \cdot - 125$

Этап 10.2.2.1.6

Умножим $- 24$ на $- 125$ .

$f' (- 5) = - 18750 + 3125 + 3000$

Этап 10.2.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1

Добавим $- 18750$ и $3125$ .

$f' (- 5) = - 15625 + 3000$

Этап 10.2.2.2.2

Добавим $- 15625$ и $3000$ .

$f' (- 5) = - 12625$

Этап 10.2.2.3

Окончательный ответ: $- 12625$ .

$- 12625$

Этап 10.3

Подставим любое число такое, что $- 1$ , из интервала $(- \frac{5 + \sqrt{601}}{12}, 0)$ в первую производную $6 x^{5} + 5 x^{4} - 24 x^{3}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = 6 {(- 1)}^{5} + 5 {(- 1)}^{4} - 24 {(- 1)}^{3}$

Этап 10.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1.1

Возведем $- 1$ в степень $5$ .

$f' (- 1) = 6 \cdot - 1 + 5 {(- 1)}^{4} - 24 {(- 1)}^{3}$

Этап 10.3.2.1.2

Умножим $6$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = - 6 + 5 {(- 1)}^{4} - 24 {(- 1)}^{3}$

Этап 10.3.2.1.3

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$f' (- 1) = - 6 + 5 \cdot 1 - 24 {(- 1)}^{3}$

Этап 10.3.2.1.4

Умножим $5$ на $1$ .

$f' (- 1) = - 6 + 5 - 24 {(- 1)}^{3}$

Этап 10.3.2.1.5

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f' (- 1) = - 6 + 5 - 24 \cdot - 1$

Этап 10.3.2.1.6

Умножим $- 24$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = - 6 + 5 + 24$

Этап 10.3.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.2.1

Добавим $- 6$ и $5$ .

$f' (- 1) = - 1 + 24$

Этап 10.3.2.2.2

Добавим $- 1$ и $24$ .

$f' (- 1) = 23$

Этап 10.3.2.3

Окончательный ответ: $23$ .

$23$

Этап 10.4

Подставим любое число такое, что $1$ , из интервала $(0, - \frac{5 - \sqrt{601}}{12})$ в первую производную $6 x^{5} + 5 x^{4} - 24 x^{3}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f' (1) = 6 {(1)}^{5} + 5 {(1)}^{4} - 24 {(1)}^{3}$

Этап 10.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = 6 \cdot 1 + 5 {(1)}^{4} - 24 {(1)}^{3}$

Этап 10.4.2.1.2

Умножим $6$ на $1$ .

$f' (1) = 6 + 5 {(1)}^{4} - 24 {(1)}^{3}$

Этап 10.4.2.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = 6 + 5 \cdot 1 - 24 {(1)}^{3}$

Этап 10.4.2.1.4

Умножим $5$ на $1$ .

$f' (1) = 6 + 5 - 24 {(1)}^{3}$

Этап 10.4.2.1.5

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = 6 + 5 - 24 \cdot 1$

Этап 10.4.2.1.6

Умножим $- 24$ на $1$ .

$f' (1) = 6 + 5 - 24$

Этап 10.4.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.2.1

Добавим $6$ и $5$ .

$f' (1) = 11 - 24$

Этап 10.4.2.2.2

Вычтем $24$ из $11$ .

$f' (1) = - 13$

Этап 10.4.2.3

Окончательный ответ: $- 13$ .

$- 13$

Этап 10.5

Подставим любое число такое, что $4$ , из интервала $(- \frac{5 - \sqrt{601}}{12}, \infty)$ в первую производную $6 x^{5} + 5 x^{4} - 24 x^{3}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f' (4) = 6 {(4)}^{5} + 5 {(4)}^{4} - 24 {(4)}^{3}$

Этап 10.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.2.1.1

Возведем $4$ в степень $5$ .

$f' (4) = 6 \cdot 1024 + 5 {(4)}^{4} - 24 {(4)}^{3}$

Этап 10.5.2.1.2

Умножим $6$ на $1024$ .

$f' (4) = 6144 + 5 {(4)}^{4} - 24 {(4)}^{3}$

Этап 10.5.2.1.3

Возведем $4$ в степень $4$ .

$f' (4) = 6144 + 5 \cdot 256 - 24 {(4)}^{3}$

Этап 10.5.2.1.4

Умножим $5$ на $256$ .

$f' (4) = 6144 + 1280 - 24 {(4)}^{3}$

Этап 10.5.2.1.5

Возведем $4$ в степень $3$ .

$f' (4) = 6144 + 1280 - 24 \cdot 64$

Этап 10.5.2.1.6

Умножим $- 24$ на $64$ .

$f' (4) = 6144 + 1280 - 1536$

Этап 10.5.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.2.2.1

Добавим $6144$ и $1280$ .

$f' (4) = 7424 - 1536$

Этап 10.5.2.2.2

Вычтем $1536$ из $7424$ .

$f' (4) = 5888$

Этап 10.5.2.3

Окончательный ответ: $5888$ .

$5888$

Этап 10.6

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = - \frac{5 + \sqrt{601}}{12}$ , $x = - \frac{5 + \sqrt{601}}{12}$ — локальный минимум.

$x = - \frac{5 + \sqrt{601}}{12}$ — локальный минимум

Этап 10.7

Поскольку первая производная меняет знак с положительного на отрицательный в окрестности $x = 0$ , $x = 0$ — локальный максимум.

$x = 0$ — локальный максимум

Этап 10.8

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = - \frac{5 - \sqrt{601}}{12}$ , $x = - \frac{5 - \sqrt{601}}{12}$ — локальный минимум.

$x = - \frac{5 - \sqrt{601}}{12}$ — локальный минимум

Этап 10.9

Это локальные экстремумы $f (x) = x^{4} (x - 2) (x + 3)$ .

$x = - \frac{5 + \sqrt{601}}{12}$ — локальный минимум

$x = 0$ — локальный максимум

$x = - \frac{5 - \sqrt{601}}{12}$ — локальный минимум

$x = - \frac{5 + \sqrt{601}}{12}$ — локальный минимум

$x = 0$ — локальный максимум

$x = - \frac{5 - \sqrt{601}}{12}$ — локальный минимум

Этап 11