Математический анализ Примеры

$\frac{1}{x^{3} - x}$

Этап 1

Запишем $\frac{1}{x^{3} - x}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{1}{x^{3} - x}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{1}{x^{3} - x} d x$

Этап 4

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Разложим дробь на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3} - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$\frac{1}{x \cdot x^{2} - x}$

Этап 4.1.1.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- x$ .

$\frac{1}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 1}$

Этап 4.1.1.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{2} + x \cdot - 1$ .

$\frac{1}{x (x^{2} - 1)}$

Этап 4.1.1.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{1}{x (x^{2} - 1^{2})}$

Этап 4.1.1.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.3.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\frac{1}{x ((x + 1) (x - 1))}$

Этап 4.1.1.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$\frac{1}{x (x + 1) (x - 1)}$

Этап 4.1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1}$

Этап 4.1.3

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{x - 1}$

Этап 4.1.4

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $x (x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{1 (x (x + 1) (x - 1))}{x (x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 4.1.5

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (x (x + 1) (x - 1))}{x (x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 4.1.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 4.1.6

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 4.1.6.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 4.1.7

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 4.1.7.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 4.1.8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.8.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.8.1.1

Сократим общий множитель.

$1 = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 4.1.8.1.2

Разделим $A ((x + 1) (x - 1))$ на $1$ .

$1 = A ((x + 1) (x - 1)) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 4.1.8.2

Развернем $(x + 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.8.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A (x (x - 1) + 1 (x - 1)) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 4.1.8.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 4.1.8.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 4.1.8.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.8.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.8.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$1 = A (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 4.1.8.3.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$1 = A (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 4.1.8.3.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$1 = A (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 4.1.8.3.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$1 = A (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 4.1.8.3.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$1 = A (x^{2} - x + x - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 4.1.8.3.2

Добавим $- x$ и $x$ .

$1 = A (x^{2} + 0 - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 4.1.8.3.3

Добавим $x^{2}$ и $0$ .

$1 = A (x^{2} - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 4.1.8.4

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A x^{2} + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 4.1.8.5

Перенесем $- 1$ влево от $A$ .

$1 = A x^{2} - 1 \cdot A + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 4.1.8.6

Перепишем $- 1 A$ в виде $- A$ .

$1 = A x^{2} - A + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 4.1.8.7

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.8.7.1

Сократим общий множитель.

$1 = A x^{2} - A + \frac{B (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 4.1.8.7.2

Разделим $(B) (x (x - 1))$ на $1$ .

$1 = A x^{2} - A + (B) (x (x - 1)) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 4.1.8.8

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A x^{2} - A + B (x \cdot x + x \cdot - 1) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 4.1.8.9

Умножим $x$ на $x$ .

$1 = A x^{2} - A + B (x^{2} + x \cdot - 1) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 4.1.8.10

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$1 = A x^{2} - A + B (x^{2} - 1 \cdot x) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 4.1.8.11

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$1 = A x^{2} - A + B (x^{2} - x) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 4.1.8.12

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A x^{2} - A + B x^{2} + B (- x) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 4.1.8.13

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 4.1.8.14

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.8.14.1

Сократим общий множитель.

$1 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + \frac{C (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 4.1.8.14.2

Разделим $(C) (x (x + 1))$ на $1$ .

$1 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + (C) (x (x + 1))$

Этап 4.1.8.15

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C (x \cdot x + x \cdot 1)$

Этап 4.1.8.16

Умножим $x$ на $x$ .

$1 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C (x^{2} + x \cdot 1)$

Этап 4.1.8.17

Умножим $x$ на $1$ .

$1 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C (x^{2} + x)$

Этап 4.1.8.18

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C x^{2} + C x$

Этап 4.1.9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.9.1

Перенесем $B$ .

$1 = A x^{2} - A + B x^{2} - x B + C x^{2} + C x$

Этап 4.1.9.2

Перенесем $- A$ .

$1 = A x^{2} + B x^{2} - x B + C x^{2} + C x - A$

Этап 4.1.9.3

Перенесем $- x B$ .

$1 = A x^{2} + B x^{2} + C x^{2} - x B + C x - A$

Этап 4.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x^{2}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = A + B + C$

Этап 4.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = - 1 B + C$

Этап 4.2.3

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = - 1 A$

Этап 4.2.4

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = A + B + C$

$0 = - 1 B + C$

$1 = - 1 A$

$0 = A + B + C$

$0 = - 1 B + C$

$1 = - 1 A$

Этап 4.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Решим относительно $A$ в $1 = - 1 A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Перепишем уравнение в виде $- 1 A = 1$ .

$- 1 A = 1$

$0 = A + B + C$

$0 = - 1 B + C$

Этап 4.3.1.2

Разделим каждый член $- 1 A = 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Разделим каждый член $- 1 A = 1$ на $- 1$ .

$\frac{- 1 A}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B + C$

$0 = - 1 B + C$

Этап 4.3.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{A}{1} = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B + C$

$0 = - 1 B + C$

Этап 4.3.1.2.2.2

Разделим $A$ на $1$ .

$A = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B + C$

$0 = - 1 B + C$

$A = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B + C$

$0 = - 1 B + C$

Этап 4.3.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.3.1

Разделим $1$ на $- 1$ .

$A = - 1$

$0 = A + B + C$

$0 = - 1 B + C$

$A = - 1$

$0 = A + B + C$

$0 = - 1 B + C$

$A = - 1$

$0 = A + B + C$

$0 = - 1 B + C$

$A = - 1$

$0 = A + B + C$

$0 = - 1 B + C$

Этап 4.3.2

Заменим все вхождения $A$ на $- 1$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $0 = A + B + C$ на $- 1$ .

$0 = (- 1) + B + C$

$A = - 1$

$0 = - 1 B + C$

Этап 4.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Избавимся от скобок.

$0 = - 1 + B + C$

$A = - 1$

$0 = - 1 B + C$

$0 = - 1 + B + C$

$A = - 1$

$0 = - 1 B + C$

$0 = - 1 + B + C$

$A = - 1$

$0 = - 1 B + C$

Этап 4.3.3

Решим относительно $B$ в $0 = - 1 + B + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $- 1 + B + C = 0$ .

$- 1 + B + C = 0$

$A = - 1$

$0 = - 1 B + C$

Этап 4.3.3.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$B + C = 1$

$A = - 1$

$0 = - 1 B + C$

Этап 4.3.3.2.2

Вычтем $C$ из обеих частей уравнения.

$B = 1 - C$

$A = - 1$

$0 = - 1 B + C$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

$0 = - 1 B + C$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

$0 = - 1 B + C$

Этап 4.3.4

Заменим все вхождения $B$ на $1 - C$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Заменим все вхождения $B$ в $0 = - 1 B + C$ на $1 - C$ .

$0 = - 1 (1 - C) + C$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

Этап 4.3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.2.1

Упростим $- 1 (1 - C) + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$0 = - 1 \cdot 1 - 1 (- C) + C$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

Этап 4.3.4.2.1.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$0 = - 1 - 1 (- C) + C$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

Этап 4.3.4.2.1.1.3

Умножим $- 1 (- C)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.2.1.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$0 = - 1 + 1 C + C$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

Этап 4.3.4.2.1.1.3.2

Умножим $C$ на $1$ .

$0 = - 1 + C + C$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

$0 = - 1 + C + C$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

$0 = - 1 + C + C$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

Этап 4.3.4.2.1.2

Добавим $C$ и $C$ .

$0 = - 1 + 2 C$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

$0 = - 1 + 2 C$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

$0 = - 1 + 2 C$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

$0 = - 1 + 2 C$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

Этап 4.3.5

Решим относительно $C$ в $0 = - 1 + 2 C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Перепишем уравнение в виде $- 1 + 2 C = 0$ .

$- 1 + 2 C = 0$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

Этап 4.3.5.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 C = 1$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

Этап 4.3.5.3

Разделим каждый член $2 C = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.3.1

Разделим каждый член $2 C = 1$ на $2$ .

$\frac{2 C}{2} = \frac{1}{2}$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

Этап 4.3.5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 C}{2} = \frac{1}{2}$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

Этап 4.3.5.3.2.1.2

Разделим $C$ на $1$ .

$C = \frac{1}{2}$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

$C = \frac{1}{2}$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

$C = \frac{1}{2}$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

$C = \frac{1}{2}$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

$C = \frac{1}{2}$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

Этап 4.3.6

Заменим все вхождения $C$ на $\frac{1}{2}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.1

Заменим все вхождения $C$ в $B = 1 - C$ на $\frac{1}{2}$ .

$B = 1 - (\frac{1}{2})$

$C = \frac{1}{2}$

$A = - 1$

Этап 4.3.6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.2.1

Упростим $1 - (\frac{1}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.2.1.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$B = \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

$C = \frac{1}{2}$

$A = - 1$

Этап 4.3.6.2.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$B = \frac{2 - 1}{2}$

$C = \frac{1}{2}$

$A = - 1$

Этап 4.3.6.2.1.3

Вычтем $1$ из $2$ .

$B = \frac{1}{2}$

$C = \frac{1}{2}$

$A = - 1$

$B = \frac{1}{2}$

$C = \frac{1}{2}$

$A = - 1$

$B = \frac{1}{2}$

$C = \frac{1}{2}$

$A = - 1$

$B = \frac{1}{2}$

$C = \frac{1}{2}$

$A = - 1$

Этап 4.3.7

Перечислим все решения.

$B = \frac{1}{2}, C = \frac{1}{2}, A = - 1$

Этап 4.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{x - 1}$ значениями, найденными для $A$ , $B$ и $C$ .

$- \frac{1}{x} + \frac{\frac{1}{2}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Этап 4.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{1}{x} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Этап 4.5.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{x + 1}$ .

$- \frac{1}{x} + \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Этап 4.5.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{1}{x} + \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x - 1}$

Этап 4.5.4

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{x - 1}$ .

$\int - \frac{1}{x} + \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int - \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Этап 7

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Этап 8

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$- (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x + 1} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Этап 9

Пусть $u_{1} = x + 1$ . Тогда $d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Пусть $u_{1} = x + 1$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Дифференцируем $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 9.1.2

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 9.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 9.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 9.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 9.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Этап 10

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Этап 11

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$- (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x - 1} d x$

Этап 12

Пусть $u_{2} = x - 1$ . Тогда $d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Пусть $u_{2} = x - 1$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Дифференцируем $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 12.1.2

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 12.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 12.1.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 12.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 12.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 13

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Этап 14

Упростим.

$- \ln (| x |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C$

Этап 15

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x + 1$ .

$- \ln (| x |) + \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C$

Этап 15.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x - 1$ .

$- \ln (| x |) + \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| x - 1 |) + C$

Этап 16

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{1}{x^{3} - x}$ .

$F (x) =$ $- \ln (| x |) + \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| x - 1 |) + C$