Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{4}}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{4}} d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{1}{x^{2}} d x + \int - \frac{2}{x^{4}} d x$

Этап 4

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int - \frac{2}{x^{4}} d x$

Этап 4.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int x^{2 \cdot - 1} d x + \int - \frac{2}{x^{4}} d x$

Этап 4.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int x^{- 2} d x + \int - \frac{2}{x^{4}} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$- x^{- 1} + C + \int - \frac{2}{x^{4}} d x$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- x^{- 1} + C - \int \frac{2}{x^{4}} d x$

Этап 7

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$- x^{- 1} + C - (2 \int \frac{1}{x^{4}} d x)$

Этап 8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- x^{- 1} + C - 2 \int \frac{1}{x^{4}} d x$

Этап 8.2

Вынесем $x^{4}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$- x^{- 1} + C - 2 \int {(x^{4})}^{- 1} d x$

Этап 8.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{4})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x^{- 1} + C - 2 \int x^{4 \cdot - 1} d x$

Этап 8.3.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$- x^{- 1} + C - 2 \int x^{- 4} d x$

Этап 9

По правилу степени интеграл $x^{- 4}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$- x^{- 1} + C - 2 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C)$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Объединим $x^{- 3}$ и $\frac{1}{3}$ .

$- x^{- 1} + C - 2 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C)$

Этап 10.1.2

Перенесем $x^{- 3}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- x^{- 1} + C - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C)$

Этап 10.2

Упростим.

$- \frac{1}{x} - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}}) + C$

Этап 10.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$- \frac{1}{x} + 2 \frac{1}{3 x^{3}} + C$

Этап 10.3.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{3 x^{3}}$ .

$- \frac{1}{x} + \frac{2}{3 x^{3}} + C$

Этап 11

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{4}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{x} + \frac{2}{3 x^{3}} + C$