Математический анализ Примеры

$\int 4 x (5^{x^{2}}) d x$

Этап 1

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int x \cdot (5^{x^{2}}) d x$

Этап 2

Пусть $u = x^{2}$ . Тогда $d u = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = x^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$4 \int 5^{u} \frac{1}{2} d u$

Этап 3

Объединим $5^{u}$ и $\frac{1}{2}$ .

$4 \int \frac{5^{u}}{2} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$4 (\frac{1}{2} \int 5^{u} d u)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$\frac{4}{2} \int 5^{u} d u$

Этап 5.2

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int 5^{u} d u$

Этап 5.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int 5^{u} d u$

Этап 5.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int 5^{u} d u$

Этап 5.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{1} \int 5^{u} d u$

Этап 5.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$2 \int 5^{u} d u$

Этап 6

Интеграл $5^{u}$ по $u$ имеет вид $\frac{5^{u}}{\ln (5)}$ .

$2 (\frac{5^{u}}{\ln (5)} + C)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем $2 (\frac{5^{u}}{\ln (5)} + C)$ в виде $2 \frac{1}{\ln (5)} \cdot 5^{u} + C$ .

$2 \frac{1}{\ln (5)} \cdot 5^{u} + C$

Этап 7.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{\ln (5)}$ .

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot 5^{u} + C$

Этап 8

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot 5^{x^{2}} + C$