Математический анализ Примеры

$\int_{- 2}^{2} | x^{2} - 4 | d x$

Этап 1

Разобьем интеграл в зависимости от того, где $x^{2} - 4$ принимает положительные и отрицательные значения.

$\int_{- 2}^{2} - x^{2} + 4 d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 2}^{2} - x^{2} d x + \int_{- 2}^{2} 4 d x$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{- 2}^{2} x^{2} d x + \int_{- 2}^{2} 4 d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{2}) + \int_{- 2}^{2} 4 d x$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{2}) + \int_{- 2}^{2} 4 d x$

Этап 6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{2}) + 4 x]_{- 2}^{2}$

Этап 7

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $2$ и в $- 2$ .

$- ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 4 x]_{- 2}^{2}$

Этап 7.2

Найдем значение $4 x$ в $2$ и в $- 2$ .

$- (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2$

Этап 7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2$

Этап 7.3.2

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{- 8}{3}) + 4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2$

Этап 7.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- (\frac{8}{3} - - \frac{8}{3}) + 4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2$

Этап 7.3.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- (\frac{8}{3} + 1 (\frac{8}{3})) + 4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2$

Этап 7.3.5

Умножим $\frac{8}{3}$ на $1$ .

$- (\frac{8}{3} + \frac{8}{3}) + 4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2$

Этап 7.3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{8 + 8}{3} + 4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2$

Этап 7.3.7

Добавим $8$ и $8$ .

$- \frac{16}{3} + 4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2$

Этап 7.3.8

Умножим $4$ на $2$ .

$- \frac{16}{3} + 8 - 4 \cdot - 2$

Этап 7.3.9

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$- \frac{16}{3} + 8 + 8$

Этап 7.3.10

Добавим $8$ и $8$ .

$- \frac{16}{3} + 16$

Этап 7.3.11

Чтобы записать $16$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{16}{3} + 16 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 7.3.12

Объединим $16$ и $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{16}{3} + \frac{16 \cdot 3}{3}$

Этап 7.3.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 16 + 16 \cdot 3}{3}$

Этап 7.3.14

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.14.1

Умножим $16$ на $3$ .

$\frac{- 16 + 48}{3}$

Этап 7.3.14.2

Добавим $- 16$ и $48$ .

$\frac{32}{3}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{32}{3}$

Десятичная форма:

$10.\overline{6}$

Форма смешанных чисел:

$10 \frac{2}{3}$

Этап 9