Математический анализ Примеры

$y = \sqrt{x}$ , $(4, 2)$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Этап 3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Этап 4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Этап 6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Этап 7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 8.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9

Найдем производную в $x = 4$ .

$\frac{1}{2 {(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.1.2

Перемножим экспоненты в ${(2^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Этап 10.1.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Этап 10.1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2 \cdot 2^{1}}$

Этап 10.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2^{1 + 1}}$

Этап 10.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{2^{2}}$

Этап 10.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{1}{4}$