Математический анализ Примеры

$f (x) = e^{x} + 100 e + 8 x^{4} + 49$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $e^{x} + 100 e + 8 x^{4} + 49$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [100 e] + \frac{d}{d x} [8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [49]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [100 e] + \frac{d}{d x} [8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [49]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [100 e] + \frac{d}{d x} [8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [49]$

Этап 1.3

Поскольку $100 e$ является константой относительно $x$ , производная $100 e$ относительно $x$ равна $0$ .

$e^{x} + 0 + \frac{d}{d x} [8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [49]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x^{4}$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$e^{x} + 0 + 8 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [49]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$e^{x} + 0 + 8 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [49]$

Этап 1.4.3

Умножим $4$ на $8$ .

$e^{x} + 0 + 32 x^{3} + \frac{d}{d x} [49]$

Этап 1.5

Поскольку $49$ является константой относительно $x$ , производная $49$ относительно $x$ равна $0$ .

$e^{x} + 0 + 32 x^{3} + 0$

Этап 1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1

Добавим $e^{x}$ и $0$ .

$e^{x} + 32 x^{3} + 0$

Этап 1.6.1.2

Добавим $e^{x} + 32 x^{3}$ и $0$ .

$e^{x} + 32 x^{3}$

Этап 1.6.2

Изменим порядок членов.

$f' (x) = 32 x^{3} + e^{x}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $32 x^{3} + e^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [32 x^{3}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [32 x^{3}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [32 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $32$ является константой относительно $x$ , производная $32 x^{3}$ по $x$ равна $32 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$32 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$32 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 2.2.3

Умножим $3$ на $32$ .

$96 x^{2} + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 2.3

$f'' (x) = 96 x^{2} + e^{x}$

Этап 3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $96 x^{2} + e^{x}$ .

$96 x^{2} + e^{x}$