Математический анализ Примеры

$\log (x)$

Этап 1

Запишем $\log (x)$ в виде функции.

$f (x) = \log (x)$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \log (x) d x$

Этап 4

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \log (x)$ и $d v = 1$ .

$\log (x) x - \int x \frac{1}{x \ln (10)} d x$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{x \ln (10)}$ .

$\log (x) x - \int \frac{x}{x \ln (10)} d x$

Этап 5.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель.

$\log (x) x - \int \frac{x}{x \ln (10)} d x$

Этап 5.2.2

Перепишем это выражение.

$\log (x) x - \int \frac{1}{\ln (10)} d x$

Этап 6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\log (x) x - (\frac{1}{\ln (10)} x + C)$

Этап 7

Перепишем $\log (x) x - (\frac{1}{\ln (10)} x + C)$ в виде $\log (x) x - \frac{1}{\ln (10)} x + C$ .

$\log (x) x - \frac{1}{\ln (10)} x + C$

Этап 8

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \log (x)$ .

$F (x) =$ $\log (x) x - \frac{1}{\ln (10)} x + C$