Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{(2 x + 1) {(4 x - 1)}^{2}}{{(2 x + 3)}^{3}}$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x {(4 x - 1)}^{2} + 1 {(4 x - 1)}^{2}}{{(2 x + 3)}^{3}}$

Этап 1.2

Умножим ${(4 x - 1)}^{2}$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x {(4 x - 1)}^{2} + {(4 x - 1)}^{2}}{{(2 x + 3)}^{3}}$

Этап 2

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2} + {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2}}{{(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2} + {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

Этап 3.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2} + lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

Этап 3.3

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 \cdot lim_{x \to \infty} x \cdot lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2} + lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

Этап 3.4

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{2 \cdot lim_{x \to \infty} x \cdot lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2} + lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

Этап 3.5

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$\frac{2 \cdot \infty \cdot lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2} + lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

Этап 3.6

Вынесем степень $2$ в выражении ${(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2} + lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

Этап 3.7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2} + lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

Этап 3.8

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2} + lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

Этап 3.9

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Сократим общий множитель.

Этап 3.9.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2} + lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

Этап 3.10

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2} + lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

Этап 4

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x}$ стремится к $0$ .

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

Этап 5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем степень $2$ в выражении ${(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + {(lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

Этап 5.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + {(lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

Этап 5.3

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + {(4 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

Этап 5.4

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + {(4 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

Этап 5.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + {(4 lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

Этап 5.5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + {(4 \cdot 1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

Этап 6

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + {(4 \cdot 1 - 0)}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

Этап 7

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем степень $3$ в выражении ${(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + {(4 \cdot 1 - 0)}^{2}}{{(lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

Этап 7.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + {(4 \cdot 1 - 0)}^{2}}{{(lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x})}^{3}}$

Этап 7.3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + {(4 \cdot 1 - 0)}^{2}}{{(2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x})}^{3}}$

Этап 7.4

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + {(4 \cdot 1 - 0)}^{2}}{{(2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x})}^{3}}$

Этап 7.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + {(4 \cdot 1 - 0)}^{2}}{{(2 lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x})}^{3}}$

Этап 7.5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + {(4 \cdot 1 - 0)}^{2}}{{(2 \cdot 1 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x})}^{3}}$

Этап 7.6

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + {(4 \cdot 1 - 0)}^{2}}{{(2 \cdot 1 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{3}}$

Этап 8

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + {(4 \cdot 1 - 0)}^{2}}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{3}}$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Произведение ненулевой константы на бесконечность равно бесконечности.

$\frac{\infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + {(4 \cdot 1 - 0)}^{2}}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{3}}$

Этап 9.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{\infty \cdot {(4 - 0)}^{2} + {(4 \cdot 1 - 0)}^{2}}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{3}}$

Этап 9.1.3

Вычтем $0$ из $4$ .

$\frac{\infty \cdot 4^{2} + {(4 \cdot 1 - 0)}^{2}}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{3}}$

Этап 9.1.4

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{\infty \cdot 16 + {(4 \cdot 1 - 0)}^{2}}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{3}}$

Этап 9.1.5

Произведение ненулевой константы на бесконечность равно бесконечности.

$\frac{\infty + {(4 \cdot 1 - 0)}^{2}}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{3}}$

Этап 9.1.6

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{\infty + {(4 - 0)}^{2}}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{3}}$

Этап 9.1.7

Вычтем $0$ из $4$ .

$\frac{\infty + 4^{2}}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{3}}$

Этап 9.1.8

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{\infty + 16}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{3}}$

Этап 9.1.9

Разность или сумма бесконечности и числа равна бесконечности.

$\frac{\infty}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{3}}$

Этап 9.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{\infty}{{(2 + 3 \cdot 0)}^{3}}$

Этап 9.2.2

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{\infty}{{(2 + 0)}^{3}}$

Этап 9.2.3

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{\infty}{2^{3}}$

Этап 9.2.4

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{\infty}{8}$

Этап 9.3

Бесконечность, деленная на любое конечное ненулевое число, есть бесконечность.

$\infty$