Математический анализ Примеры

$\int \frac{4}{x^{3}} - 5 x \sqrt{x} d x$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{4}{x^{3}} - 5 x \cdot x^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 1.2

Умножим $x$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{4}{x^{3}} - 5 (x^{\frac{1}{2}} x) d x$

Этап 1.2.2

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int \frac{4}{x^{3}} - 5 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) d x$

Этап 1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int \frac{4}{x^{3}} - 5 x^{\frac{1}{2} + 1} d x$

Этап 1.2.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\int \frac{4}{x^{3}} - 5 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} d x$

Этап 1.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int \frac{4}{x^{3}} - 5 x^{\frac{1 + 2}{2}} d x$

Этап 1.2.5

Добавим $1$ и $2$ .

$\int \frac{4}{x^{3}} - 5 x^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{4}{x^{3}} d x + \int - 5 x^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 3

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int \frac{1}{x^{3}} d x + \int - 5 x^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 4

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем $x^{3}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$4 \int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int - 5 x^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 4.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \int x^{3 \cdot - 1} d x + \int - 5 x^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 4.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$4 \int x^{- 3} d x + \int - 5 x^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{- 3}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$4 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int - 5 x^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $x^{- 2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$4 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int - 5 x^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 6.2

Перенесем $x^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int - 5 x^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 7

Поскольку $- 5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 5$ из-под знака интеграла.

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 5 \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{\frac{3}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 5 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим.

$\frac{- 2}{x^{2}} - 5 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) + C$

Этап 9.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{x^{2}} - 5 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) + C$

Этап 9.2.2

Объединим $\frac{2}{5}$ и $x^{\frac{5}{2}}$ .

$- \frac{2}{x^{2}} - 5 \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Этап 9.2.3

Объединим $- 5$ и $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$ .

$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{- 5 (2 x^{\frac{5}{2}})}{5} + C$

Этап 9.2.4

Умножим $2$ на $- 5$ .

$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{- 10 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Этап 9.2.5

Вынесем множитель $5$ из $- 10 x^{\frac{5}{2}}$ .

$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{5 (- 2 x^{\frac{5}{2}})}{5} + C$

Этап 9.2.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.6.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{5 (- 2 x^{\frac{5}{2}})}{5 (1)} + C$

Этап 9.2.6.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{5 (- 2 x^{\frac{5}{2}})}{5 \cdot 1} + C$

Этап 9.2.6.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{- 2 x^{\frac{5}{2}}}{1} + C$

Этап 9.2.6.4

Разделим $- 2 x^{\frac{5}{2}}$ на $1$ .

$- \frac{2}{x^{2}} - 2 x^{\frac{5}{2}} + C$