Математический анализ Примеры

${(x + 2)}^{5} {(x - 3)}^{4}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = {(x + 2)}^{5}$ и $g (x) = {(x - 3)}^{4}$ .

${(x + 2)}^{5} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{4}] + {(x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x - 3$ .

${(x + 2)}^{5} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [x - 3]) + {(x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

${(x + 2)}^{5} (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [x - 3]) + {(x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x - 3$ .

${(x + 2)}^{5} (4 {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 3]) + {(x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем $4$ влево от ${(x + 2)}^{5}$ .

$4 \cdot {(x + 2)}^{5} {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 3] + {(x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$4 {(x + 2)}^{5} {(x - 3)}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 {(x + 2)}^{5} {(x - 3)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]$

Этап 3.4

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 {(x + 2)}^{5} {(x - 3)}^{3} (1 + 0) + {(x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]$

Этап 3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Добавим $1$ и $0$ .

$4 {(x + 2)}^{5} {(x - 3)}^{3} \cdot 1 + {(x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]$

Этап 3.5.2

Умножим $4$ на $1$ .

$4 {(x + 2)}^{5} {(x - 3)}^{3} + {(x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]$

Этап 4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x + 2$ .

$4 {(x + 2)}^{5} {(x - 3)}^{3} + {(x - 3)}^{4} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d x} [x + 2])$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$4 {(x + 2)}^{5} {(x - 3)}^{3} + {(x - 3)}^{4} (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x + 2$ .

$4 {(x + 2)}^{5} {(x - 3)}^{3} + {(x - 3)}^{4} (5 {(x + 2)}^{4} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Этап 5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем $5$ влево от ${(x - 3)}^{4}$ .

$4 {(x + 2)}^{5} {(x - 3)}^{3} + 5 \cdot {(x - 3)}^{4} {(x + 2)}^{4} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Этап 5.2

По правилу суммы производная $x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$4 {(x + 2)}^{5} {(x - 3)}^{3} + 5 {(x - 3)}^{4} {(x + 2)}^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 5.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 {(x + 2)}^{5} {(x - 3)}^{3} + 5 {(x - 3)}^{4} {(x + 2)}^{4} (1 + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 5.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 {(x + 2)}^{5} {(x - 3)}^{3} + 5 {(x - 3)}^{4} {(x + 2)}^{4} (1 + 0)$

Этап 5.5

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Добавим $1$ и $0$ .

$4 {(x + 2)}^{5} {(x - 3)}^{3} + 5 {(x - 3)}^{4} {(x + 2)}^{4} \cdot 1$

Этап 5.5.2

Умножим $5$ на $1$ .

$4 {(x + 2)}^{5} {(x - 3)}^{3} + 5 {(x - 3)}^{4} {(x + 2)}^{4}$

Этап 5.5.3

Вынесем множитель ${(x + 2)}^{4} {(x - 3)}^{3}$ из $4 {(x + 2)}^{5} {(x - 3)}^{3} + 5 {(x - 3)}^{4} {(x + 2)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Вынесем множитель ${(x + 2)}^{4} {(x - 3)}^{3}$ из $4 {(x + 2)}^{5} {(x - 3)}^{3}$ .

${(x + 2)}^{4} {(x - 3)}^{3} (4 (x + 2)) + 5 {(x - 3)}^{4} {(x + 2)}^{4}$

Этап 5.5.3.2

Вынесем множитель ${(x + 2)}^{4} {(x - 3)}^{3}$ из $5 {(x - 3)}^{4} {(x + 2)}^{4}$ .

${(x + 2)}^{4} {(x - 3)}^{3} (4 (x + 2)) + {(x + 2)}^{4} {(x - 3)}^{3} (5 (x - 3))$

Этап 5.5.3.3

Вынесем множитель ${(x + 2)}^{4} {(x - 3)}^{3}$ из ${(x + 2)}^{4} {(x - 3)}^{3} (4 (x + 2)) + {(x + 2)}^{4} {(x - 3)}^{3} (5 (x - 3))$ .

${(x + 2)}^{4} {(x - 3)}^{3} (4 (x + 2) + 5 (x - 3))$