Математический анализ Примеры

$\sum_{k = 5}^{5} {(k + 1)}^{2} (k - 3)$

Этап 1

Упростим суммирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(k + 1)}^{2}$ в виде $(k + 1) (k + 1)$ .

$(k + 1) (k + 1) (k - 3)$

Этап 1.2

Развернем $(k + 1) (k + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(k (k + 1) + 1 (k + 1)) (k - 3)$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(k \cdot k + k \cdot 1 + 1 (k + 1)) (k - 3)$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(k \cdot k + k \cdot 1 + 1 k + 1 \cdot 1) (k - 3)$

Этап 1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Умножим $k$ на $k$ .

$(k^{2} + k \cdot 1 + 1 k + 1 \cdot 1) (k - 3)$

Этап 1.3.1.2

Умножим $k$ на $1$ .

$(k^{2} + k + 1 k + 1 \cdot 1) (k - 3)$

Этап 1.3.1.3

Умножим $k$ на $1$ .

$(k^{2} + k + k + 1 \cdot 1) (k - 3)$

Этап 1.3.1.4

Умножим $1$ на $1$ .

$(k^{2} + k + k + 1) (k - 3)$

Этап 1.3.2

Добавим $k$ и $k$ .

$(k^{2} + 2 k + 1) (k - 3)$

Этап 1.4

Развернем $(k^{2} + 2 k + 1) (k - 3)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$k^{2} k + k^{2} \cdot - 3 + 2 k \cdot k + 2 k \cdot - 3 + 1 k + 1 \cdot - 3$

Этап 1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим $k^{2}$ на $k$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Умножим $k^{2}$ на $k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1.1

Возведем $k$ в степень $1$ .

$k^{2} k^{1} + k^{2} \cdot - 3 + 2 k \cdot k + 2 k \cdot - 3 + 1 k + 1 \cdot - 3$

Этап 1.5.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$k^{2 + 1} + k^{2} \cdot - 3 + 2 k \cdot k + 2 k \cdot - 3 + 1 k + 1 \cdot - 3$

Этап 1.5.1.2

Добавим $2$ и $1$ .

$k^{3} + k^{2} \cdot - 3 + 2 k \cdot k + 2 k \cdot - 3 + 1 k + 1 \cdot - 3$

Этап 1.5.2

Перенесем $- 3$ влево от $k^{2}$ .

$k^{3} - 3 \cdot k^{2} + 2 k \cdot k + 2 k \cdot - 3 + 1 k + 1 \cdot - 3$

Этап 1.5.3

Умножим $k$ на $k$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Перенесем $k$ .

$k^{3} - 3 k^{2} + 2 (k \cdot k) + 2 k \cdot - 3 + 1 k + 1 \cdot - 3$

Этап 1.5.3.2

Умножим $k$ на $k$ .

$k^{3} - 3 k^{2} + 2 k^{2} + 2 k \cdot - 3 + 1 k + 1 \cdot - 3$

Этап 1.5.4

Умножим $- 3$ на $2$ .

$k^{3} - 3 k^{2} + 2 k^{2} - 6 k + 1 k + 1 \cdot - 3$

Этап 1.5.5

Умножим $k$ на $1$ .

$k^{3} - 3 k^{2} + 2 k^{2} - 6 k + k + 1 \cdot - 3$

Этап 1.5.6

Умножим $- 3$ на $1$ .

$k^{3} - 3 k^{2} + 2 k^{2} - 6 k + k - 3$

Этап 1.6

Добавим $- 3 k^{2}$ и $2 k^{2}$ .

$k^{3} - k^{2} - 6 k + k - 3$

Этап 1.7

Добавим $- 6 k$ и $k$ .

$k^{3} - k^{2} - 5 k - 3$

Этап 1.8

Переделаем суммирование.

$\sum_{k = 5}^{5} k^{3} - k^{2} - 5 k - 3$

Этап 2

Развернем ряд для каждого значения $k$ .

$5^{3} - 5^{2} - 5 \cdot 5 - 3$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Возведем $5$ в степень $3$ .

$125 - 5^{2} - 5 \cdot 5 - 3$

Этап 3.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$125 - 1 \cdot 25 - 5 \cdot 5 - 3$

Этап 3.3

Умножим $- 1$ на $25$ .

$125 - 25 - 5 \cdot 5 - 3$

Этап 3.4

Вычтем $25$ из $125$ .

$100 - 5 \cdot 5 - 3$

Этап 3.5

Умножим $- 5$ на $5$ .

$100 - 25 - 3$

Этап 3.6

Вычтем $25$ из $100$ .

$75 - 3$

Этап 3.7

Вычтем $3$ из $75$ .

$72$