Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} + x}{x^{3} + x}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2} + x}{lim_{x \to 0} x^{3} + x}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{3} + x}$

Этап 1.1.2.2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{3} + x}$

Этап 1.1.2.3

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0^{2} + lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{3} + x}$

Этап 1.1.2.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0^{2} + 0}{lim_{x \to 0} x^{3} + x}$

Этап 1.1.2.4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{3} + x}$

Этап 1.1.2.4.2

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{3} + x}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{3} + lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.3.2

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{3} + lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.3.3

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0^{3} + lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.3.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0^{3} + 0}$

Этап 1.1.3.4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Этап 1.1.3.4.2

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.5

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} + x}{x^{3} + x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $x^{2} + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x]}$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x]}$

Этап 1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 1}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x]}$

Этап 1.3.5

По правилу суммы производная $x^{3} + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 1}{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 1}{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 1}{3 x^{2} + 1}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 2 x + 1}{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + 1}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + 1}$

Этап 2.3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + 1}$

Этап 2.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{2 lim_{x \to 0} x + 1}{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + 1}$

Этап 2.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{2 lim_{x \to 0} x + 1}{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + lim_{x \to 0} 1}$

Этап 2.6

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 0} x + 1}{3 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 1}$

Этап 2.7

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{2 lim_{x \to 0} x + 1}{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 1}$

Этап 2.8

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{2 lim_{x \to 0} x + 1}{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{2 \cdot 0 + 1}{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1}$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{2 \cdot 0 + 1}{3 \cdot 0^{2} + 1}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{0 + 1}{3 \cdot 0^{2} + 1}$

Этап 4.1.2

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{1}{3 \cdot 0^{2} + 1}$

Этап 4.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{3 \cdot 0 + 1}$

Этап 4.2.2

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{1}{0 + 1}$

Этап 4.2.3

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{1}{1}$

Этап 4.3

Разделим $1$ на $1$ .

$1$