Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\sqrt{3}} 6 x \sqrt{1 + x^{2}} d x$

Этап 1

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$6 \int_{0}^{\sqrt{3}} x \sqrt{1 + x^{2}} d x$

Этап 2

Пусть $u = 1 + x^{2}$ . Тогда $d u = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = 1 + x^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Этап 2.1.2

По правилу суммы производная $1 + x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.1.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Этап 2.1.5

Добавим $0$ и $2 x$ .

$2 x$

Этап 2.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 1 + x^{2}$ .

$u_{lower} = 1 + 0^{2}$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Этап 2.3.2

Добавим $1$ и $0$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 2.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 1 + x^{2}$ .

$u_{upper} = 1 + {\sqrt{3}}^{2}$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{upper} = 1 + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 2.5.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = 1 + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 2.5.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$u_{upper} = 1 + 3^{\frac{2}{2}}$

Этап 2.5.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.4.1

Сократим общий множитель.

$u_{upper} = 1 + 3^{\frac{2}{2}}$

Этап 2.5.1.4.2

Перепишем это выражение.

$u_{upper} = 1 + 3^{1}$

Этап 2.5.1.5

Найдем экспоненту.

$u_{upper} = 1 + 3$

Этап 2.5.2

Добавим $1$ и $3$ .

$u_{upper} = 4$

Этап 2.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 4$

Этап 2.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$6 \int_{1}^{4} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Этап 3

Объединим $\sqrt{u}$ и $\frac{1}{2}$ .

$6 \int_{1}^{4} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$6 (\frac{1}{2} \int_{1}^{4} \sqrt{u} d u)$

Этап 5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $6$ .

$\frac{6}{2} \int_{1}^{4} \sqrt{u} d u$

Этап 5.1.2

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2} \int_{1}^{4} \sqrt{u} d u$

Этап 5.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \int_{1}^{4} \sqrt{u} d u$

Этап 5.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \int_{1}^{4} \sqrt{u} d u$

Этап 5.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{1} \int_{1}^{4} \sqrt{u} d u$

Этап 5.1.2.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$3 \int_{1}^{4} \sqrt{u} d u$

Этап 5.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4})$

Этап 7

Объединим $\frac{2}{3}$ и $u^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4})$

Этап 8

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем значение $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ в $4$ и в $1$ .

$3 ((\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$3 (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 8.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 8.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Сократим общий множитель.

$3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 8.2.3.2

Перепишем это выражение.

$3 (\frac{2 \cdot 2^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 8.2.4

Возведем $2$ в степень $3$ .

$3 (\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 8.2.5

Умножим $2$ на $8$ .

$3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 8.2.6

Единица в любой степени равна единице.

$3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 1}{3})$

Этап 8.2.7

Умножим $2$ на $1$ .

$3 (\frac{16}{3} - \frac{2}{3})$

Этап 8.2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 \frac{16 - 2}{3}$

Этап 8.2.9

Вычтем $2$ из $16$ .

$3 (\frac{14}{3})$

Этап 8.2.10

Объединим $3$ и $\frac{14}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 14}{3}$

Этап 8.2.11

Умножим $3$ на $14$ .

$\frac{42}{3}$

Этап 8.2.12

Сократим общий множитель $42$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.12.1

Вынесем множитель $3$ из $42$ .

$\frac{3 \cdot 14}{3}$

Этап 8.2.12.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.12.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 \cdot 14}{3 (1)}$

Этап 8.2.12.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 14}{3 \cdot 1}$

Этап 8.2.12.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{14}{1}$

Этап 8.2.12.2.4

Разделим $14$ на $1$ .

$14$

Этап 9