Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{x} (1 + 2 t + 3 t^{2} + 4 t^{3}) d t$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{0}^{x} 1 + 2 t + 3 t^{2} + 4 t^{3} d t$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{x} d t + \int_{0}^{x} 2 t d t + \int_{0}^{x} 3 t^{2} d t + \int_{0}^{x} 4 t^{3} d t$

Этап 3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$t]_{0}^{x} + \int_{0}^{x} 2 t d t + \int_{0}^{x} 3 t^{2} d t + \int_{0}^{x} 4 t^{3} d t$

Этап 4

Поскольку $2$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$t]_{0}^{x} + 2 \int_{0}^{x} t d t + \int_{0}^{x} 3 t^{2} d t + \int_{0}^{x} 4 t^{3} d t$

Этап 5

По правилу степени интеграл $t$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$t]_{0}^{x} + 2 (\frac{1}{2} t^{2}]_{0}^{x}) + \int_{0}^{x} 3 t^{2} d t + \int_{0}^{x} 4 t^{3} d t$

Этап 6

Объединим $\frac{1}{2}$ и $t^{2}$ .

$t]_{0}^{x} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{0}^{x}) + \int_{0}^{x} 3 t^{2} d t + \int_{0}^{x} 4 t^{3} d t$

Этап 7

Поскольку $3$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$t]_{0}^{x} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{0}^{x}) + 3 \int_{0}^{x} t^{2} d t + \int_{0}^{x} 4 t^{3} d t$

Этап 8

По правилу степени интеграл $t^{2}$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$t]_{0}^{x} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{0}^{x}) + 3 (\frac{1}{3} t^{3}]_{0}^{x}) + \int_{0}^{x} 4 t^{3} d t$

Этап 9

Объединим $\frac{1}{3}$ и $t^{3}$ .

$t]_{0}^{x} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{0}^{x}) + 3 (\frac{t^{3}}{3}]_{0}^{x}) + \int_{0}^{x} 4 t^{3} d t$

Этап 10

Поскольку $4$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$t]_{0}^{x} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{0}^{x}) + 3 (\frac{t^{3}}{3}]_{0}^{x}) + 4 \int_{0}^{x} t^{3} d t$

Этап 11

По правилу степени интеграл $t^{3}$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{4} t^{4}$ .

$t]_{0}^{x} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{0}^{x}) + 3 (\frac{t^{3}}{3}]_{0}^{x}) + 4 (\frac{1}{4} t^{4}]_{0}^{x})$

Этап 12

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $t^{4}$ .

$t]_{0}^{x} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{0}^{x}) + 3 (\frac{t^{3}}{3}]_{0}^{x}) + 4 (\frac{t^{4}}{4}]_{0}^{x})$

Этап 12.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Найдем значение $t$ в $x$ и в $0$ .

$(x) + 0 + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{0}^{x}) + 3 (\frac{t^{3}}{3}]_{0}^{x}) + 4 (\frac{t^{4}}{4}]_{0}^{x})$

Этап 12.2.2

Найдем значение $\frac{t^{2}}{2}$ в $x$ и в $0$ .

$x + 0 + 2 (\frac{x^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 (\frac{t^{3}}{3}]_{0}^{x}) + 4 (\frac{t^{4}}{4}]_{0}^{x})$

Этап 12.2.3

Найдем значение $\frac{t^{3}}{3}$ в $x$ и в $0$ .

$x + 0 + 2 (\frac{x^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{t^{4}}{4}]_{0}^{x})$

Этап 12.2.4

Найдем значение $\frac{t^{4}}{4}$ в $x$ и в $0$ .

$x + 0 + 2 (\frac{x^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 12.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.5.1

Добавим $x$ и $0$ .

$x + 2 (\frac{x^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 12.2.5.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$x + 2 (\frac{x^{2}}{2} - \frac{0}{2}) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 12.2.5.3

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.5.3.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$x + 2 (\frac{x^{2}}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 12.2.5.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.5.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$x + 2 (\frac{x^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 12.2.5.3.2.2

Сократим общий множитель.

$x + 2 (\frac{x^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 12.2.5.3.2.3

Перепишем это выражение.

$x + 2 (\frac{x^{2}}{2} - \frac{0}{1}) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 12.2.5.3.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$x + 2 (\frac{x^{2}}{2} - 0) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 12.2.5.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$x + 2 (\frac{x^{2}}{2} + 0) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 12.2.5.5

Добавим $\frac{x^{2}}{2}$ и $0$ .

$x + 2 \frac{x^{2}}{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 12.2.5.6

Объединим $2$ и $\frac{x^{2}}{2}$ .

$x + \frac{2 x^{2}}{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 12.2.5.7

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.5.7.1

Сократим общий множитель.

$x + \frac{2 x^{2}}{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 12.2.5.7.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x + x^{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 12.2.5.8

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$x + x^{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 12.2.5.9

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.5.9.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$x + x^{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 12.2.5.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.5.9.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$x + x^{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 12.2.5.9.2.2

Сократим общий множитель.

$x + x^{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 12.2.5.9.2.3

Перепишем это выражение.

$x + x^{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0}{1}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 12.2.5.9.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$x + x^{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - 0) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 12.2.5.10

Умножим $- 1$ на $0$ .

$x + x^{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} + 0) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 12.2.5.11

Добавим $\frac{x^{3}}{3}$ и $0$ .

$x + x^{2} + 3 \frac{x^{3}}{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 12.2.5.12

Объединим $3$ и $\frac{x^{3}}{3}$ .

$x + x^{2} + \frac{3 x^{3}}{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 12.2.5.13

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.5.13.1

Сократим общий множитель.

$x + x^{2} + \frac{3 x^{3}}{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 12.2.5.13.2

Разделим $x^{3}$ на $1$ .

$x + x^{2} + x^{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 12.2.5.14

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$x + x^{2} + x^{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0}{4})$

Этап 12.2.5.15

Сократим общий множитель $0$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.5.15.1

Вынесем множитель $4$ из $0$ .

$x + x^{2} + x^{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{4 (0)}{4})$

Этап 12.2.5.15.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.5.15.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$x + x^{2} + x^{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Этап 12.2.5.15.2.2

Сократим общий множитель.

$x + x^{2} + x^{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Этап 12.2.5.15.2.3

Перепишем это выражение.

$x + x^{2} + x^{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0}{1})$

Этап 12.2.5.15.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$x + x^{2} + x^{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - 0)$

Этап 12.2.5.16

Умножим $- 1$ на $0$ .

$x + x^{2} + x^{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} + 0)$

Этап 12.2.5.17

Добавим $\frac{x^{4}}{4}$ и $0$ .

$x + x^{2} + x^{3} + 4 \frac{x^{4}}{4}$

Этап 12.2.5.18

Объединим $4$ и $\frac{x^{4}}{4}$ .

$x + x^{2} + x^{3} + \frac{4 x^{4}}{4}$

Этап 12.2.5.19

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.5.19.1

Сократим общий множитель.

$x + x^{2} + x^{3} + \frac{4 x^{4}}{4}$

Этап 12.2.5.19.2

Разделим $x^{4}$ на $1$ .

$x + x^{2} + x^{3} + x^{4}$