Математический анализ Примеры

$f (x) = x + 3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Этап 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.1

По правилу суммы производная $x + 3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$

Этап 1.1.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$

Этап 1.1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$ .

$1 + 3 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$

Этап 1.1.1.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ и $g (x) = x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 1$ .

$1 + 3 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1])$

Этап 1.1.1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Этап 1.1.1.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 1$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Этап 1.1.1.2.3

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Этап 1.1.1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Этап 1.1.1.2.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + 0))$

Этап 1.1.1.2.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0))$

Этап 1.1.1.2.7

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))$

Этап 1.1.1.2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))$

Этап 1.1.1.2.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.9.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} (1 + 0))$

Этап 1.1.1.2.9.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} (1 + 0))$

Этап 1.1.1.2.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (1 + 0))$

Этап 1.1.1.2.11

Добавим $1$ и $0$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \cdot 1)$

Этап 1.1.1.2.12

Объединим $\frac{1}{3}$ и ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$1 + 3 (\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot 1)$

Этап 1.1.1.2.13

Умножим $\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ на $1$ .

$1 + 3 \frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Этап 1.1.1.2.14

Перенесем ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + 3 \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.1.1.2.15

Объединим $3$ и $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$1 + \frac{3}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.1.1.2.16

Сократим общий множитель.

$1 + \frac{3}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.1.1.2.17

Перепишем это выражение.

$f' (x) = 1 + \frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

По правилу суммы производная $1 + \frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}]$

Этап 1.1.2.1.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}]$

Этап 1.1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Перепишем $\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ в виде ${({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$0 + \frac{d}{d x} [{({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 1}]$

Этап 1.1.2.2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}]$

Этап 1.1.2.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$0 - {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}]$

Этап 1.1.2.2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$0 - {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}]$

Этап 1.1.2.2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x - 1$ .

$0 - {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1])$

Этап 1.1.2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{2}{3}$ .

$0 - {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Этап 1.1.2.2.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x - 1$ .

$0 - {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Этап 1.1.2.2.4

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$0 - {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Этап 1.1.2.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Этап 1.1.2.2.6

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 - {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0))$

Этап 1.1.2.2.7

Перемножим экспоненты в ${({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.7.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - {(x - 1)}^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0))$

Этап 1.1.2.2.7.2

Умножим $\frac{2}{3} \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.7.2.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $- 2$ .

$0 - {(x - 1)}^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0))$

Этап 1.1.2.2.7.2.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$0 - {(x - 1)}^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0))$

Этап 1.1.2.2.7.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0))$

Этап 1.1.2.2.8

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0))$

Этап 1.1.2.2.9

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))$

Этап 1.1.2.2.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))$

Этап 1.1.2.2.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.11.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} (1 + 0))$

Этап 1.1.2.2.11.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 1}{3}} (1 + 0))$

Этап 1.1.2.2.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}} (1 + 0))$

Этап 1.1.2.2.13

Добавим $1$ и $0$ .

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}} \cdot 1)$

Этап 1.1.2.2.14

Объединим $\frac{2}{3}$ и ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot 1)$

Этап 1.1.2.2.15

Умножим $\frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ на $1$ .

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} \frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Этап 1.1.2.2.16

Перенесем ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 1.1.2.2.17

Объединим $\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ и ${(x - 1)}^{- \frac{4}{3}}$ .

$0 - \frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}}}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 1.1.2.2.18

Перенесем ${(x - 1)}^{- \frac{4}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 1.1.2.2.19

Умножим ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ на ${(x - 1)}^{\frac{4}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.19.1

Перенесем ${(x - 1)}^{\frac{4}{3}}$ .

$0 - \frac{2}{3 ({(x - 1)}^{\frac{4}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}$

Этап 1.1.2.2.19.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$0 - \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3} + \frac{1}{3}}}$

Этап 1.1.2.2.19.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$0 - \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{4 + 1}{3}}}$

Этап 1.1.2.2.19.4

Добавим $4$ и $1$ .

$0 - \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 1.1.2.3

Вычтем $\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$ из $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 1.1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$ .

$- \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 1.2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$- \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} = 0$

Этап 1.2.2

Приравняем числитель к нулю.

$2 = 0$

Этап 1.2.3

Поскольку $2 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 2

Найдем область определения $f (x) = x + 3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$x + 3 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{1}}$

Этап 2.1.2

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$x + 3 \sqrt[3]{x - 1}$

Этап 2.2

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 3

График вогнут вниз, так как вторая производная отрицательна.

График имеет вогнутость вниз.

Этап 4