Математический анализ Примеры

$\int {(x - 5)}^{2} e^{x} d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = {(x - 5)}^{2}$ и $d v = e^{x}$ .

${(x - 5)}^{2} e^{x} - \int e^{x} (2 x - 10) d x$

Этап 2

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = 2 x - 10$ и $d v = e^{x}$ .

${(x - 5)}^{2} e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - \int e^{x} \cdot 2 d x)$

Этап 3

Перенесем $2$ влево от $e^{x}$ .

${(x - 5)}^{2} e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - \int 2 e^{x} d x)$

Этап 4

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

${(x - 5)}^{2} e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - (2 \int e^{x} d x))$

Этап 5

Умножим $2$ на $- 1$ .

${(x - 5)}^{2} e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - 2 \int e^{x} d x)$

Этап 6

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

${(x - 5)}^{2} e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - 2 (e^{x} + C))$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем ${(x - 5)}^{2} e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - 2 (e^{x} + C))$ в виде $(x - 5) (x - 5) e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - 2 e^{x}) + C$ .

$(x - 5) (x - 5) e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - 2 e^{x}) + C$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Возведем $x - 5$ в степень $1$ .

${(x - 5)}^{1} (x - 5) e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - 2 e^{x}) + C$

Этап 7.2.2

Возведем $x - 5$ в степень $1$ .

${(x - 5)}^{1} {(x - 5)}^{1} e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - 2 e^{x}) + C$

Этап 7.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${(x - 5)}^{1 + 1} e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - 2 e^{x}) + C$

Этап 7.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

${(x - 5)}^{2} e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - 2 e^{x}) + C$

Этап 7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

${(x - 5)}^{2} e^{x} - ((2 x - 10) e^{x}) - (- 2 e^{x}) + C$

Этап 7.3.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

${(x - 5)}^{2} e^{x} - (2 x - 10) e^{x} + 2 e^{x} + C$

Этап 7.3.3

Изменим порядок множителей в $- (2 x - 10) e^{x} + 2 e^{x}$ .

${(x - 5)}^{2} e^{x} - e^{x} (2 x - 10) + 2 e^{x} + C$