Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{2}{\frac{\sin (x)}{x}} + \frac{1 - \cos (x)}{x} + \frac{\tan (x)}{x}$

Этап 1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2}{\frac{\sin (x)}{x}} + lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{x} + lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x}$

Этап 1.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{\sin (x)}{x}} + lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{x} + lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x}$

Этап 1.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$2 \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x}} + lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{x} + lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x}$

Этап 1.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$2 \frac{1}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x}} + lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{x} + lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x}$

Этап 2

Так как $\cos (x) \leq \frac{\sin (x)}{x} \leq 1$ и $lim_{x \to 0} \cos (x) = lim_{x \to 0} 1 = 1$ , применим теорему о двух милиционерах.

$2 (\frac{1}{1}) + lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{x} + lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x}$

Этап 3

Так как $0 \leq \frac{1 - \cos (x)}{x} \leq \frac{x}{2}$ и $lim_{x \to 0} 0 = lim_{x \to 0} \frac{x}{2} = 0$ , применим теорему о двух милиционерах.

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x}$

Этап 4

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + \frac{lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 4.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + \frac{\tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 4.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + \frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 4.1.2.3

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 4.1.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + \frac{0}{0}$

Этап 4.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + \frac{0}{0}$

Этап 4.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 4.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 4.3.2

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 4.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{1}$

Этап 4.4

Разделим $\sec^{2} (x)$ на $1$ .

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)$

Этап 5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем степень $2$ в выражении $\sec^{2} (x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}$

Этап 5.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку секанс — непрерывная функция.

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)$

Этап 6

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + \sec^{2} (0)$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + \sec^{2} (0)$

Этап 7.1.1.2

Перепишем это выражение.

$2 \cdot 1 + 0 + \sec^{2} (0)$

Этап 7.1.2

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + 0 + \sec^{2} (0)$

Этап 7.1.3

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$2 + 0 + 1^{2}$

Этап 7.1.4

Единица в любой степени равна единице.

$2 + 0 + 1$

Этап 7.2

Добавим $2$ и $0$ .

$2 + 1$

Этап 7.3

Добавим $2$ и $1$ .

$3$