Математический анализ Примеры

$\int \frac{8 x - 3}{{(4 x^{2} - 3 x)}^{4}} d x$

Этап 1

Пусть $u = 4 x^{2} - 3 x$ . Тогда $d u = (8 x - 3) d x$ , следовательно $\frac{1}{8 x - 3} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 4 x^{2} - 3 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $4 x^{2} - 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3 x]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $4 x^{2} - 3 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Этап 1.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 x - 3 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$8 x - 3 \cdot 1$

Этап 1.1.4.3

Умножим $- 3$ на $1$ .

$8 x - 3$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{4}} d u$

Этап 2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем $u^{4}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(u^{4})}^{- 1} d u$

Этап 2.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{4})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{4 \cdot - 1} d u$

Этап 2.2.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\int u^{- 4} d u$

Этап 3

По правилу степени интеграл $u^{- 4}$ по $u$ имеет вид $- \frac{1}{3} u^{- 3}$ .

$- \frac{1}{3} u^{- 3} + C$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $- \frac{1}{3} u^{- 3} + C$ в виде $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}} + C$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}} + C$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $\frac{1}{u^{3}}$ на $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{u^{3} \cdot 3} + C$

Этап 4.2.2

Перенесем $3$ влево от $u^{3}$ .

$- \frac{1}{3 u^{3}} + C$

Этап 5

Заменим все вхождения $u$ на $4 x^{2} - 3 x$ .

$- \frac{1}{3 {(4 x^{2} - 3 x)}^{3}} + C$