Математический анализ Примеры

$y = 7 x^{3} - 5 x^{2} + x$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $7 x^{3} - 5 x^{2} + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [7 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x^{3}$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$7 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2.3

Умножим $3$ на $7$ .

$21 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x^{2}$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$21 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$21 x^{2} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $- 5$ .

$21 x^{2} - 10 x + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 21 x^{2} - 10 x + 1$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $21 x^{2} - 10 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [21 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $21$ является константой относительно $x$ , производная $21 x^{2}$ по $x$ равна $21 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$21 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$21 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $21$ .

$42 x + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 10$ является константой относительно $x$ , производная $- 10 x$ по $x$ равна $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$42 x - 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$42 x - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3.3

Умножим $- 10$ на $1$ .

$42 x - 10 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$42 x - 10 + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $42 x - 10$ и $0$ .

$f'' (x) = 42 x - 10$