Математический анализ Примеры

$7^{\sqrt{x} + 2}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [7^{x^{\frac{1}{2}} + 2}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = 7^{x}$ и $g (x) = x^{\frac{1}{2}} + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{\frac{1}{2}} + 2$ .

$\frac{d}{d u} [7^{u}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $7$ .

$7^{u} \ln (7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{\frac{1}{2}} + 2$ .

$7^{x^{\frac{1}{2}} + 2} \ln (7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $x^{\frac{1}{2}} + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$7^{x^{\frac{1}{2}} + 2} \ln (7) (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$7^{x^{\frac{1}{2}} + 2} \ln (7) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$7^{x^{\frac{1}{2}} + 2} \ln (7) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$7^{x^{\frac{1}{2}} + 2} \ln (7) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$7^{x^{\frac{1}{2}} + 2} \ln (7) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$7^{x^{\frac{1}{2}} + 2} \ln (7) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$7^{x^{\frac{1}{2}} + 2} \ln (7) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$7^{x^{\frac{1}{2}} + 2} \ln (7) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 8.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$7^{x^{\frac{1}{2}} + 2} \ln (7) (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 8.3

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$7^{x^{\frac{1}{2}} + 2} \ln (7) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 9

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$7^{x^{\frac{1}{2}} + 2} \ln (7) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0)$

Этап 10

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Добавим $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ и $0$ .

$7^{x^{\frac{1}{2}} + 2} \ln (7) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.2

Объединим $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ и $7^{x^{\frac{1}{2}} + 2}$ .

$\frac{7^{x^{\frac{1}{2}} + 2}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \ln (7)$

Этап 10.3

Объединим $\frac{7^{x^{\frac{1}{2}} + 2}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ и $\ln (7)$ .

$\frac{7^{x^{\frac{1}{2}} + 2} \ln (7)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$