Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0^{+}} x \ln (x + x^{2})$

Этап 1

Перепишем $x \ln (x + x^{2})$ в виде $\frac{\ln (x + x^{2})}{\frac{1}{x}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x + x^{2})}{\frac{1}{x}}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x + x^{2})}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}$

Этап 2.1.2

Когда $x$ стремится к $0$ справа, $\ln (x + x^{2})$ неограниченно убывает.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}$

Этап 2.1.3

Так как числитель — константа, а знаменатель стремится к $0$ , когда $x$ стремится к $0$ справа, дробь $\frac{1}{x}$ стремится к бесконечности.

$\frac{- \infty}{\infty}$

Этап 2.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{- \infty}{\infty}$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{- \infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x + x^{2})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x + x^{2})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x + x^{2})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 2.3.2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 2.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + x^{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 2.3.3

По правилу суммы производная $x + x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + x^{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + x^{2}} (1 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 2.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + x^{2}} (1 + 2 x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 2.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{x + x^{2}} (1 + 2 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(1 + 2 x) \frac{1}{x + x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 2.3.6.2

Вынесем множитель $x$ из $x + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(1 + 2 x) \frac{1}{x^{1} + x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 2.3.6.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(1 + 2 x) \frac{1}{x \cdot 1 + x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 2.3.6.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(1 + 2 x) \frac{1}{x \cdot 1 + x \cdot x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 2.3.6.2.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot 1 + x \cdot x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(1 + 2 x) \frac{1}{x (1 + x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 2.3.6.3

Умножим $1 + 2 x$ на $\frac{1}{x (1 + x)}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1 + 2 x}{x (1 + x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 2.3.7

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1 + 2 x}{x (1 + x)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}$

Этап 2.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1 + 2 x}{x (1 + x)}}{- x^{- 2}}$

Этап 2.3.9

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1 + 2 x}{x (1 + x)}}{- \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 2.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1 + 2 x}{x (1 + x)} (- x^{2})$

Этап 2.5

Объединим $\frac{1 + 2 x}{x (1 + x)}$ и $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{(1 + 2 x) x^{2}}{x (1 + x)}$

Этап 2.6

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Вынесем множитель $x$ из $(1 + 2 x) x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x ((1 + 2 x) x)}{x (1 + x)}$

Этап 2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x ((1 + 2 x) x)}{x (1 + x)}$

Этап 2.6.2.2

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{(1 + 2 x) x}{1 + x}$

Этап 2.7

Изменим порядок множителей в $- \frac{(1 + 2 x) x}{1 + x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x (1 + 2 x)}{1 + x}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x (1 + 2 x)}{1 + x}$

Этап 3.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x (1 + 2 x)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 + x}$

Этап 3.3

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot lim_{x \to 0^{+}} 1 + 2 x}{lim_{x \to 0^{+}} 1 + x}$

Этап 3.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot (lim_{x \to 0^{+}} 1 + lim_{x \to 0^{+}} 2 x)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 + x}$

Этап 3.5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot (1 + lim_{x \to 0^{+}} 2 x)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 + x}$

Этап 3.6

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot (1 + 2 lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 + x}$

Этап 3.7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot (1 + 2 lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 + lim_{x \to 0^{+}} x}$

Этап 3.8

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot (1 + 2 lim_{x \to 0^{+}} x)}{1 + lim_{x \to 0^{+}} x}$

Этап 4

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$- \frac{0 \cdot (1 + 2 lim_{x \to 0^{+}} x)}{1 + lim_{x \to 0^{+}} x}$

Этап 4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$- \frac{0 \cdot (1 + 2 \cdot 0)}{1 + lim_{x \to 0^{+}} x}$

Этап 4.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$- \frac{0 \cdot (1 + 2 \cdot 0)}{1 + 0}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $0$ на $1 + 2 \cdot 0$ .

$- \frac{0}{1 + 0}$

Этап 5.2

Добавим $1$ и $0$ .

$- \frac{0}{1}$

Этап 5.3

Разделим $0$ на $1$ .

$- 0$

Этап 5.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$0$