Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\tan (3 x)}$

Этап 1

Применим тригонометрические тождества.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Выразим $\tan (3 x)$ через синусы и косинусы.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}}$

Этап 1.2

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos (3 x)}{\sin (3 x)}$

Этап 1.3

Переведем $\frac{\sin (x) \cos (3 x)}{\sin (3 x)}$ в $\sin (x) \cot (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \sin (x) \cot (3 x)$

Этап 2

Рассмотрим левосторонний предел.

$lim_{x \to 0^{-}} \sin (x) \cot (3 x)$

Этап 3

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $\sin (x) \cot (3 x)$ , когда $x$ стремится к $0$ слева.

$\begin{array}{c} x & \sin (x) \cot (3 x) \\ - 0.1 & 0.32273429 \\ - 0.01 & 0.33322777 \\ - 0.001 & 0.33333227 \end{array}$

Этап 4

Если значения $x$ стремятся к $0$ , значения функции стремятся к $0.333$ . Таким образом, предел $\sin (x) \cot (3 x)$ , когда $x$ стремится к $0$ слева, равен $0.333$ .

$0.333$

Этап 5

Рассмотрим правосторонний предел.

$lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) \cot (3 x)$

Этап 6

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $\sin (x) \cot (3 x)$ , когда $x$ стремится к $0$ справа.

$\begin{array}{c} x & \sin (x) \cot (3 x) \\ 0.1 & 0.32273429 \\ 0.01 & 0.33322777 \\ 0.001 & 0.33333227 \end{array}$

Этап 7

Если значения $x$ стремятся к $0$ , значения функции стремятся к $0.333$ . Таким образом, предел $\sin (x) \cot (3 x)$ , когда $x$ стремится к $0$ справа, равен $0.333$ .

$0.333$