Математический анализ Примеры

$2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cot (x) \cdot \sin (x)$

Этап 1

По правилу суммы производная $2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cot (x) \cdot \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}] + \frac{d}{d x} [2 \cot (x) \cdot \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}] + \frac{d}{d x} [2 \cot (x) \cdot \sin (x)]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [2 \tan (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cot (x) \cdot \sin (x)]$

Этап 2.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \tan (x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cot (x) \cdot \sin (x)]$

Этап 2.3

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$2 \sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [2 \cot (x) \cdot \sin (x)]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 \cot (x) \cdot \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \cot (x) \sin (x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\cot (x) \sin (x)]$ .

$2 \sec^{2} (x) + 2 \frac{d}{d x} [\cot (x) \sin (x)]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \cot (x)$ и $g (x) = \sin (x)$ .

$2 \sec^{2} (x) + 2 (\cot (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Этап 3.3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$2 \sec^{2} (x) + 2 (\cot (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Этап 3.4

Производная $\cot (x)$ по $x$ равна $- \csc^{2} (x)$ .

$2 \sec^{2} (x) + 2 (\cot (x) \cos (x) + \sin (x) (- \csc^{2} (x)))$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \sec^{2} (x) + 2 (\cot (x) \cos (x)) + 2 (\sin (x) (- \csc^{2} (x)))$

Этап 4.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2 \sec^{2} (x) + 2 \cot (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \csc^{2} (x)$

Этап 4.3

Изменим порядок членов.

$2 \cos (x) \cot (x) - 2 \csc^{2} (x) \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

Этап 4.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Выразим $\cot (x)$ через синусы и косинусы.

$2 \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 2 \csc^{2} (x) \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

Этап 4.4.2

Умножим $2 \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Объединим $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ и $2$ .

$\frac{\cos (x) \cdot 2}{\sin (x)} \cos (x) - 2 \csc^{2} (x) \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

Этап 4.4.2.2

Объединим $\frac{\cos (x) \cdot 2}{\sin (x)}$ и $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cdot 2 \cos (x)}{\sin (x)} - 2 \csc^{2} (x) \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

Этап 4.4.2.3

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{2 (\cos^{1} (x) \cos (x))}{\sin (x)} - 2 \csc^{2} (x) \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

Этап 4.4.2.4

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{2 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{\sin (x)} - 2 \csc^{2} (x) \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

Этап 4.4.2.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)} - 2 \csc^{2} (x) \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

Этап 4.4.2.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - 2 \csc^{2} (x) \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

Этап 4.4.3

Выразим $\csc (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - 2 {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

Этап 4.4.4

Применим правило умножения к $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - 2 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

Этап 4.4.5

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - 2 \frac{1}{\sin^{2} (x)} \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

Этап 4.4.6

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{- 2}{\sin^{2} (x)} \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

Этап 4.4.7

Сократим общий множитель $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.7.1

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{- 2}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

Этап 4.4.7.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{- 2}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

Этап 4.4.7.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{- 2}{\sin (x)} + 2 \sec^{2} (x)$

Этап 4.4.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \frac{2}{\sin (x)} + 2 \sec^{2} (x)$

Этап 4.4.9

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \frac{2}{\sin (x)} + 2 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Этап 4.4.10

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \frac{2}{\sin (x)} + 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Этап 4.4.11

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \frac{2}{\sin (x)} + 2 \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Этап 4.4.12

Объединим $2$ и $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \frac{2}{\sin (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

Этап 4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 \cos^{2} (x) - 2}{\sin (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

Этап 4.6

Изменим порядок $2 \cos^{2} (x)$ и $- 2$ .

$\frac{- 2 + 2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

Этап 4.7

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2$ .

$\frac{- 2 (1) + 2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

Этап 4.8

Вынесем множитель $- 2$ из $2 \cos^{2} (x)$ .

$\frac{- 2 (1) - 2 (- \cos^{2} (x))}{\sin (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

Этап 4.9

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 (1) - 2 (- \cos^{2} (x))$ .

$\frac{- 2 (1 - \cos^{2} (x))}{\sin (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

Этап 4.10

Применим формулу Пифагора.

$\frac{- 2 \sin^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

Этап 4.11

Сократим общий множитель $\sin^{2} (x)$ и $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.1

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $- 2 \sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (x) (- 2 \sin (x))}{\sin (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

Этап 4.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.2.1

Умножим на $1$ .

$\frac{\sin (x) (- 2 \sin (x))}{\sin (x) \cdot 1} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

Этап 4.11.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\sin (x) (- 2 \sin (x))}{\sin (x) \cdot 1} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

Этап 4.11.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 2 \sin (x)}{1} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

Этап 4.11.2.4

Разделим $- 2 \sin (x)$ на $1$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

Этап 4.12

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.1

Умножим на $1$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{2}{\cos^{2} (x) \cdot 1}$

Этап 4.12.2

Разделим дроби.

$- 2 \sin (x) + \frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Этап 4.12.3

Переведем $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ в $\sec^{2} (x)$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{2}{1} \sec^{2} (x)$

Этап 4.12.4

Разделим $2$ на $1$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$