Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{π} \int_{0}^{2 π} \cos (θ) \sin (θ) \sin^{2} (x) (\sin (x) - \sin (θ)) d θ d x$

Этап 1

Найдем значение $\int_{0}^{2 π} \cos (θ) \sin (θ) \sin^{2} (x) (\sin (x) - \sin (θ)) d θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $\sin^{2} (x)$ — константа по отношению к $θ$ , вынесем $\sin^{2} (x)$ из-под знака интеграла.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{2 π} \cos (θ) \sin (θ) (\sin (x) - \sin (θ)) d θ d x$

Этап 1.2

Пусть $u = \sin (θ)$ . Тогда $d u = \cos (θ) d θ$ , следовательно $\frac{1}{\cos (θ)} d u = d θ$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть $u = \sin (θ)$ . Найдем $\frac{d u}{d θ}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Дифференцируем $\sin (θ)$ .

$\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

Этап 1.2.1.2

Производная $\sin (θ)$ по $θ$ равна $\cos (θ)$ .

$\cos (θ)$

Этап 1.2.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $θ$ в $u = \sin (θ)$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Этап 1.2.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 1.2.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $θ$ в $u = \sin (θ)$ .

$u_{upper} = \sin (2 π)$

Этап 1.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$u_{upper} = \sin (0)$

Этап 1.2.5.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$u_{upper} = 0$

Этап 1.2.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 0$

Этап 1.2.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u (\sin (x) - u) d u d x$

Этап 1.3

Развернем $u (\sin (x) - u)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) + u (- u) d u d x$

Этап 1.3.2

Изменим порядок $u$ и $- 1$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) - 1 \cdot u \cdot u d u d x$

Этап 1.3.3

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) - (u \cdot u) d u d x$

Этап 1.3.4

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) - (u^{1} u) d u d x$

Этап 1.3.5

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) - (u^{1} u^{1}) d u d x$

Этап 1.3.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) - u^{1 + 1} d u d x$

Этап 1.3.7

Добавим $1$ и $1$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) - u^{2} d u d x$

Этап 1.3.8

Изменим порядок $u \sin (x)$ и $- u^{2}$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} - u^{2} + u \sin (x) d u d x$

Этап 1.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (\int_{0}^{0} - u^{2} d u + \int_{0}^{0} u \sin (x) d u) d x$

Этап 1.5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- \int_{0}^{0} u^{2} d u + \int_{0}^{0} u \sin (x) d u) d x$

Этап 1.6

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{0}) + \int_{0}^{0} u \sin (x) d u) d x$

Этап 1.7

Объединим $\frac{1}{3}$ и $u^{3}$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{0}) + \int_{0}^{0} u \sin (x) d u) d x$

Этап 1.8

Поскольку $\sin (x)$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\sin (x)$ из-под знака интеграла.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{0}) + \sin (x) \int_{0}^{0} u d u) d x$

Этап 1.9

По правилу степени интеграл $u$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{0}) + \sin (x) \frac{1}{2} u^{2}]_{0}^{0}) d x$

Этап 1.10

Объединим $\frac{1}{2}$ и $u^{2}$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{0}) + \sin (x) \frac{u^{2}}{2}]_{0}^{0}) d x$

Этап 1.11

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.11.1

Найдем значение $\frac{u^{3}}{3}$ в $0$ и в $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) \frac{u^{2}}{2}]_{0}^{0}) d x$

Этап 1.11.2

Найдем значение $\frac{u^{2}}{2}$ в $0$ и в $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{0^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Этап 1.11.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.11.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{0}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Этап 1.11.3.2

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.11.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{3 (0)}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Этап 1.11.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.11.3.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Этап 1.11.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Этап 1.11.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{0}{1} - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Этап 1.11.3.2.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Этап 1.11.3.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - \frac{0}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Этап 1.11.3.4

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.11.3.4.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - \frac{3 (0)}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Этап 1.11.3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.11.3.4.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Этап 1.11.3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Этап 1.11.3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - \frac{0}{1}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Этап 1.11.3.4.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - 0) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Этап 1.11.3.5

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 + 0) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Этап 1.11.3.6

Добавим $0$ и $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- 0 + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Этап 1.11.3.7

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Этап 1.11.3.8

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (\frac{0}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Этап 1.11.3.9

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.11.3.9.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (\frac{2 (0)}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Этап 1.11.3.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.11.3.9.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Этап 1.11.3.9.2.2

Сократим общий множитель.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Этап 1.11.3.9.2.3

Перепишем это выражение.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (\frac{0}{1} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Этап 1.11.3.9.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Этап 1.11.3.10

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - \frac{0}{2})) d x$

Этап 1.11.3.11

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.11.3.11.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - \frac{2 (0)}{2})) d x$

Этап 1.11.3.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.11.3.11.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})) d x$

Этап 1.11.3.11.2.2

Сократим общий множитель.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})) d x$

Этап 1.11.3.11.2.3

Перепишем это выражение.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - \frac{0}{1})) d x$

Этап 1.11.3.11.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - 0)) d x$

Этап 1.11.3.12

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 + 0)) d x$

Этап 1.11.3.13

Добавим $0$ и $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) \cdot 0) d x$

Этап 1.11.3.14

Умножим $\sin (x)$ на $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + 0) d x$

Этап 1.11.3.15

Добавим $0$ и $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \cdot 0 d x$

Этап 1.11.3.16

Умножим $\sin^{2} (x)$ на $0$ .

$\int_{0}^{π} 0 d x$

Этап 2

Найдем значение $\int_{0}^{π} 0 d x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Интеграл $0$ по $x$ имеет вид $0$ .

$0]_{0}^{π}$

Этап 2.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Найдем значение $0$ в $π$ и в $0$ .

$(0) + 0$

Этап 2.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$0$