Математический анализ Примеры

$\frac{x}{e^{x}}$

Этап 1

Запишем $\frac{x}{e^{x}}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{x}{e^{x}}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{x}{e^{x}} d x$

Этап 4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поменяем знак экспоненты $e^{x}$ и вынесем ее из знаменателя.

$\int x {(e^{x})}^{- 1} d x$

Этап 4.2

Перемножим экспоненты в ${(e^{x})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int x e^{x \cdot - 1} d x$

Этап 4.2.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$\int x e^{- 1 \cdot x} d x$

Этап 4.2.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\int x e^{- x} d x$

Этап 5

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{- x}$ .

$x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x$

Этап 7.2

Умножим $\int e^{- x} d x$ на $1$ .

$x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x$

Этап 8

Пусть $u = - x$ . Тогда $d u = - d x$ , следовательно $- d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Пусть $u = - x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Дифференцируем $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Этап 8.1.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Этап 8.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Этап 8.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 8.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u$

Этап 9

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u$

Этап 10

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$x (- e^{- x}) - (e^{u} + C)$

Этап 11

Перепишем $x (- e^{- x}) - (e^{u} + C)$ в виде $- x e^{- x} - e^{u} + C$ .

$- x e^{- x} - e^{u} + C$

Этап 12

Заменим все вхождения $u$ на $- x$ .

$- x e^{- x} - e^{- x} + C$

Этап 13

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{x}{e^{x}}$ .

$F (x) =$ $- x e^{- x} - e^{- x} + C$