Математический анализ Примеры

$f (x) = \tan (x) \sec^{2} (x)$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \tan (x) \sec^{2} (x) d x$

Этап 3

Пусть $u = \sec (x)$ . Тогда $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , следовательно $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u = \sec (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Этап 3.1.2

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Этап 3.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int u d u$

Этап 4

По правилу степени интеграл $u$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C$

Этап 5

Заменим все вхождения $u$ на $\sec (x)$ .

$\frac{1}{2} \sec^{2} (x) + C$

Этап 6

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \tan (x) \sec^{2} (x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} \sec^{2} (x) + C$