Математический анализ Примеры

$\frac{d}{d x} (\arcsin (e^{3 x}))$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \arcsin (x)$ и $g (x) = e^{3 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $e^{3 x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arcsin (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Этап 1.2

Производная $\arcsin (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $e^{3 x}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(e^{3 x})}^{2}}} \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Этап 2

Перемножим экспоненты в ${(e^{3 x})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - e^{3 x \cdot 2}}} \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Этап 2.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - e^{6 x}}} \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Этап 3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $3 x$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - e^{6 x}}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [3 x])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - e^{6 x}}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $3 x$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - e^{6 x}}} (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $e^{3 x}$ и $\frac{1}{\sqrt{1 - e^{6 x}}}$ .

$\frac{e^{3 x}}{\sqrt{1 - e^{6 x}}} \frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 4.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{3 x}}{\sqrt{1 - e^{6 x}}} (3 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.3

Объединим $3$ и $\frac{e^{3 x}}{\sqrt{1 - e^{6 x}}}$ .

$\frac{3 e^{3 x}}{\sqrt{1 - e^{6 x}}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{3 e^{3 x}}{\sqrt{1 - e^{6 x}}} \cdot 1$

Этап 4.5

Умножим $\frac{3 e^{3 x}}{\sqrt{1 - e^{6 x}}}$ на $1$ .

$\frac{3 e^{3 x}}{\sqrt{1 - e^{6 x}}}$