Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} \arctan (2 x) d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \arctan (2 x)$ и $d v = 1$ .

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x \frac{2}{4 x^{2} + 1} d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $x$ и $\frac{2}{4 x^{2} + 1}$ .

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x \cdot 2}{4 x^{2} + 1} d x$

Этап 2.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2 x}{4 x^{2} + 1} d x$

Этап 3

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - (2 \int_{0}^{1} \frac{x}{4 x^{2} + 1} d x)$

Этап 4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} \frac{x}{4 x^{2} + 1} d x$

Этап 5

Пусть $u = 4 x^{2} + 1$ . Тогда $d u = 8 x d x$ , следовательно $\frac{1}{8} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = 4 x^{2} + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $4 x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 1]$

Этап 5.1.2

По правилу суммы производная $4 x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 5.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 5.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 5.1.3.3

Умножим $2$ на $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 5.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$8 x + 0$

Этап 5.1.4.2

Добавим $8 x$ и $0$ .

$8 x$

Этап 5.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 4 x^{2} + 1$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 0^{2} + 1$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 0 + 1$

Этап 5.3.1.2

Умножим $4$ на $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Этап 5.3.2

Добавим $0$ и $1$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 5.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 4 x^{2} + 1$ .

$u_{upper} = 4 \cdot 1^{2} + 1$

Этап 5.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$u_{upper} = 4 \cdot 1 + 1$

Этап 5.5.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$u_{upper} = 4 + 1$

Этап 5.5.2

Добавим $4$ и $1$ .

$u_{upper} = 5$

Этап 5.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 5$

Этап 5.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - 2 \int_{1}^{5} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{8} d u$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{8}$ .

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - 2 \int_{1}^{5} \frac{1}{u \cdot 8} d u$

Этап 6.2

Перенесем $8$ влево от $u$ .

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - 2 \int_{1}^{5} \frac{1}{8 u} d u$

Этап 7

Поскольку $\frac{1}{8}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{8}$ из-под знака интеграла.

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - 2 (\frac{1}{8} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{1}{8}$ и $- 2$ .

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} + \frac{- 2}{8} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u$

Этап 8.2

Сократим общий множитель $- 2$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} + \frac{2 (- 1)}{8} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u$

Этап 8.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u$

Этап 8.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u$

Этап 8.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} + \frac{- 1}{4} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u$

Этап 8.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - \frac{1}{4} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u$

Этап 9

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - \frac{1}{4} \ln (| u |)]_{1}^{5}$

Этап 10

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем значение $\arctan (2 x) x$ в $1$ и в $0$ .

$(\arctan (2 \cdot 1) \cdot 1) - \arctan (2 \cdot 0) \cdot 0 - \frac{1}{4} \ln (| u |)]_{1}^{5}$

Этап 10.2

Найдем значение $\ln (| u |)$ в $5$ и в $1$ .

$(\arctan (2 \cdot 1) \cdot 1) - \arctan (2 \cdot 0) \cdot 0 - \frac{1}{4} ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 1 |))$

Этап 10.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

$\arctan (2) \cdot 1 - \arctan (2 \cdot 0) \cdot 0 - \frac{1}{4} ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 1 |))$

Этап 10.3.2

Умножим $\arctan (2)$ на $1$ .

$\arctan (2) - \arctan (2 \cdot 0) \cdot 0 - \frac{1}{4} ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 1 |))$

Этап 10.3.3

Умножим $2$ на $0$ .

$\arctan (2) - \arctan (0) \cdot 0 - \frac{1}{4} ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 1 |))$

Этап 10.3.4

Умножим $0$ на $- 1$ .

$\arctan (2) + 0 \arctan (0) - \frac{1}{4} ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 1 |))$

Этап 10.3.5

Умножим $0$ на $\arctan (0)$ .

$\arctan (2) + 0 - \frac{1}{4} ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 1 |))$

Этап 10.3.6

Добавим $\arctan (2)$ и $0$ .

$\arctan (2) - \frac{1}{4} (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\arctan (2) - \frac{1}{4} \ln (\frac{| 5 |}{| 1 |})$

Этап 11.2

Объединим $\ln (\frac{| 5 |}{| 1 |})$ и $\frac{1}{4}$ .

$\arctan (2) - \frac{\ln (\frac{| 5 |}{| 1 |})}{4}$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $5$ равно $5$ .

$\arctan (2) - \frac{\ln (\frac{5}{| 1 |})}{4}$

Этап 12.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\arctan (2) - \frac{\ln (\frac{5}{1})}{4}$

Этап 12.3

Разделим $5$ на $1$ .

$\arctan (2) - \frac{\ln (5)}{4}$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Найдем значение $\arctan (2)$ .

$1.10714871 - \frac{\ln (5)}{4}$

Этап 13.2

Вычтем $\frac{\ln (5)}{4}$ из $1.10714871$ .

$0.70478923$