Математический анализ Примеры

$\int_{\frac{π}{3}}^{\frac{2 π}{3}} \csc^{2} (\frac{1}{2} t) d t$

Этап 1

Пусть $u = \frac{1}{2} t$ . Тогда $d u = \frac{1}{2} d t$ , следовательно $2 d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \frac{1}{2} t$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\frac{1}{2} t$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t]$

Этап 1.1.2

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $t$ , производная $\frac{1}{2} t$ по $t$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Этап 1.1.4

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{2}$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $t$ в $u = \frac{1}{2} t$ .

$u_{lower} = \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{3}$

Этап 1.3

Умножим $\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{π}{3}$ .

$u_{lower} = \frac{π}{2 \cdot 3}$

Этап 1.3.2

Умножим $2$ на $3$ .

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $t$ в $u = \frac{1}{2} t$ .

$u_{upper} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 π}{3}$

Этап 1.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$u_{upper} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (π)}{3}$

Этап 1.5.2

Сократим общий множитель.

$u_{upper} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 π}{3}$

Этап 1.5.3

Перепишем это выражение.

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \csc^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{2}$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \csc^{2} (u) (1 \cdot 2) d u$

Этап 2.2

Умножим $2$ на $1$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \csc^{2} (u) \cdot 2 d u$

Этап 2.3

Перенесем $2$ влево от $\csc^{2} (u)$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} 2 \csc^{2} (u) d u$

Этап 3

Поскольку $2$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \csc^{2} (u) d u$

Этап 4

Поскольку производная $- \cot (u)$ равна $\csc^{2} (u)$ , интеграл $\csc^{2} (u)$ равен $- \cot (u)$ .

$2 (- \cot (u)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}})$

Этап 5

Найдем значение $- \cot (u)$ в $\frac{π}{3}$ и в $\frac{π}{6}$ .

$2 (- \cot (\frac{π}{3}) + \cot (\frac{π}{6}))$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Точное значение $\cot (\frac{π}{3})$ : $\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

$2 (- \frac{1}{\sqrt{3}} + \cot (\frac{π}{6}))$

Этап 6.2

Точное значение $\cot (\frac{π}{6})$ : $\sqrt{3}$ .

$2 (- \frac{1}{\sqrt{3}} + \sqrt{3})$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (- \frac{1}{\sqrt{3}}) + 2 \sqrt{3}$

Этап 7.2

Умножим $2 (- \frac{1}{\sqrt{3}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 \frac{1}{\sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}$

Этап 7.2.2

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{- 2}{\sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}$

Этап 7.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{\sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$- (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}) + 2 \sqrt{3}$

Этап 8.1.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}$

Этап 8.1.2.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}$

Этап 8.1.2.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} + 2 \sqrt{3}$

Этап 8.1.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} + 2 \sqrt{3}$

Этап 8.1.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} + 2 \sqrt{3}$

Этап 8.1.2.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} + 2 \sqrt{3}$

Этап 8.1.2.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + 2 \sqrt{3}$

Этап 8.1.2.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} + 2 \sqrt{3}$

Этап 8.1.2.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} + 2 \sqrt{3}$

Этап 8.1.2.6.4.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}} + 2 \sqrt{3}$

Этап 8.1.2.6.5

Найдем экспоненту.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 2 \sqrt{3}$

Этап 8.2

Чтобы записать $2 \sqrt{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 2 \sqrt{3} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 8.3

Объединим $2 \sqrt{3}$ и $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \cdot 3}{3}$

Этап 8.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} \cdot 3}{3}$

Этап 8.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3}}{3}$

Этап 8.5.2

Добавим $- 2 \sqrt{3}$ и $6 \sqrt{3}$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Десятичная форма:

$2.30940107 \dots$