Математический анализ Примеры

$\int \frac{- 3 x - 3}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 4}} d x$

Этап 1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x$ .

$\int \frac{3 (- x) - 3}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 4}} d x$

Этап 1.2

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$\int \frac{3 (- x) + 3 (- 1)}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 4}} d x$

Этап 1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (- x) + 3 (- 1)$ .

$\int \frac{3 (- x - 1)}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 4}} d x$

Этап 2

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int \frac{- x - 1}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 4}} d x$

Этап 3

Пусть $u = x^{2} + 2 x - 4$ . Тогда $d u = (2 x + 2) d x$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u = (- x - 1) d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u = x^{2} + 2 x - 4$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $x^{2} + 2 x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 4]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 2 x - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 3.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 3.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 3.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 3.1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 3.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 2 + 0$

Этап 3.1.4.2

Добавим $2 x + 2$ и $0$ .

$2 x + 2$

Этап 3.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$3 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$3 \int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{2}) d u$

Этап 4.2

Умножим $\frac{1}{\sqrt{u}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$3 \int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Этап 4.3

Перенесем $2$ влево от $\sqrt{u}$ .

$3 \int - \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$3 (- \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u)$

Этап 6

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 3 \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Этап 7

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$- 3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Этап 8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 3$ .

$\frac{- 3}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 8.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 8.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{3}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Этап 8.2.2

Вынесем $u^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$- \frac{3}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Этап 8.2.3

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Этап 8.2.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$- \frac{3}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Этап 8.2.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 9

По правилу степени интеграл $u^{- \frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Перепишем $- \frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ в виде $- \frac{3}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$- \frac{3}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 10.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 (\frac{3}{2}) u^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 10.2.2

Объединим $- 2$ и $\frac{3}{2}$ .

$\frac{- 2 \cdot 3}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 10.2.3

Умножим $- 2$ на $3$ .

$\frac{- 6}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 10.2.4

Сократим общий множитель $- 6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.1

Вынесем множитель $2$ из $- 6$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 10.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{2 (1)} u^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 10.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1} u^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 10.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 3}{1} u^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 10.2.4.2.4

Разделим $- 3$ на $1$ .

$- 3 u^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 11

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 2 x - 4$ .

$- 3 {(x^{2} + 2 x - 4)}^{\frac{1}{2}} + C$