Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Этап 1

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x = \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 2.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 2.2.2

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 3

Когда $x$ стремится к $\infty$ , дробь $\frac{1}{x^{2}}$ стремится к $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{1 + 0}}$

Этап 4

Так как числитель не ограничен, когда знаменатель стремится к постоянному числу, дробь $\frac{x}{\sqrt{1 + 0}}$ стремится к бесконечности.

$\infty$