Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x) + 5 \sin (3 x)}{x}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (2 x) + 5 \sin (3 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (2 x) + lim_{x \to 0} 5 \sin (3 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 2 x) + lim_{x \to 0} 5 \sin (3 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 5 \sin (3 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.4

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 0} x) + 5 lim_{x \to 0} \sin (3 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.5

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 0} x) + 5 \sin (lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.6

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 0} x) + 5 \sin (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.7

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.7.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\sin (2 \cdot 0) + 5 \sin (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.7.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\sin (2 \cdot 0) + 5 \sin (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.8.1.1

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{\sin (0) + 5 \sin (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.8.1.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{0 + 5 \sin (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.8.1.3

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{0 + 5 \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.8.1.4

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{0 + 5 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.8.1.5

Умножим $5$ на $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.8.2

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x) + 5 \sin (3 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x) + 5 \sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x) + 5 \sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $\sin (2 x) + 5 \sin (3 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [5 \sin (3 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [5 \sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5 \sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.3.1.2

Производная $\sin (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\cos (u_{1})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5 \sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.3.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5 \sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.3.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 \sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [5 \sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.3.4

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [5 \sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.3.5

Перенесем $2$ влево от $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [5 \sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 \sin (3 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 \sin (3 x)$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x) + 5 \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.4.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x) + 5 (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.4.2.2

Производная $\sin (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\cos (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x) + 5 (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.4.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x) + 5 (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.4.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x) + 5 (\cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x) + 5 (\cos (3 x) (3 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.4.5

Умножим $3$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x) + 5 (\cos (3 x) \cdot 3)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.4.6

Перенесем $3$ влево от $\cos (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x) + 5 (3 \cdot \cos (3 x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.4.7

Умножим $3$ на $5$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x) + 15 \cos (3 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x) + 15 \cos (3 x)}{1}$

Этап 1.4

Разделим $2 \cos (2 x) + 15 \cos (3 x)$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} 2 \cos (2 x) + 15 \cos (3 x)$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$lim_{x \to 0} 2 \cos (2 x) + lim_{x \to 0} 15 \cos (3 x)$

Этап 2.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 lim_{x \to 0} \cos (2 x) + lim_{x \to 0} 15 \cos (3 x)$

Этап 2.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$2 \cos (lim_{x \to 0} 2 x) + lim_{x \to 0} 15 \cos (3 x)$

Этап 2.4

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 \cos (2 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 15 \cos (3 x)$

Этап 2.5

Вынесем член $15$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 \cos (2 lim_{x \to 0} x) + 15 lim_{x \to 0} \cos (3 x)$

Этап 2.6

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$2 \cos (2 lim_{x \to 0} x) + 15 \cos (lim_{x \to 0} 3 x)$

Этап 2.7

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 \cos (2 lim_{x \to 0} x) + 15 \cos (3 lim_{x \to 0} x)$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$2 \cos (2 \cdot 0) + 15 \cos (3 lim_{x \to 0} x)$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$2 \cos (2 \cdot 0) + 15 \cos (3 \cdot 0)$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $2$ на $0$ .

$2 \cos (0) + 15 \cos (3 \cdot 0)$

Этап 4.1.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$2 \cdot 1 + 15 \cos (3 \cdot 0)$

Этап 4.1.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + 15 \cos (3 \cdot 0)$

Этап 4.1.4

Умножим $3$ на $0$ .

$2 + 15 \cos (0)$

Этап 4.1.5

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$2 + 15 \cdot 1$

Этап 4.1.6

Умножим $15$ на $1$ .

$2 + 15$

Этап 4.2

Добавим $2$ и $15$ .

$17$