Математический анализ Примеры

$6 e^{2 x} + {(x + 1)}^{4}$

Этап 1

Запишем $6 e^{2 x} + {(x + 1)}^{4}$ в виде функции.

$f (x) = 6 e^{2 x} + {(x + 1)}^{4}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int 6 e^{2 x} + {(x + 1)}^{4} d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 6 e^{2 x} d x + \int {(x + 1)}^{4} d x$

Этап 5

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$6 \int e^{2 x} d x + \int {(x + 1)}^{4} d x$

Этап 6

Пусть $u_{1} = 2 x$ . Тогда $d u_{1} = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть $u_{1} = 2 x$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 6.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 6.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 6.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 6.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$6 \int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1} + \int {(x + 1)}^{4} d x$

Этап 7

Объединим $e^{u_{1}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$6 \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int {(x + 1)}^{4} d x$

Этап 8

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$6 (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int {(x + 1)}^{4} d x$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $6$ .

$\frac{6}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x + 1)}^{4} d x$

Этап 9.2

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x + 1)}^{4} d x$

Этап 9.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x + 1)}^{4} d x$

Этап 9.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x + 1)}^{4} d x$

Этап 9.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{1} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x + 1)}^{4} d x$

Этап 9.2.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$3 \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x + 1)}^{4} d x$

Этап 10

Интеграл $e^{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $e^{u_{1}}$ .

$3 (e^{u_{1}} + C) + \int {(x + 1)}^{4} d x$

Этап 11

Пусть $u_{2} = x + 1$ . Тогда $d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Пусть $u_{2} = x + 1$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Дифференцируем $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 11.1.2

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 11.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 11.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 11.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 11.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$3 (e^{u_{1}} + C) + \int {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Этап 12

По правилу степени интеграл ${u_{2}}^{4}$ по $u_{2}$ имеет вид $\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}$ .

$3 (e^{u_{1}} + C) + \frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C$

Этап 13

Упростим.

$3 e^{u_{1}} + \frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C$

Этап 14

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x$ .

$3 e^{2 x} + \frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C$

Этап 14.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x + 1$ .

$3 e^{2 x} + \frac{1}{5} {(x + 1)}^{5} + C$

Этап 15

Ответ ― первообразная функции $f (x) = 6 e^{2 x} + {(x + 1)}^{4}$ .

$F (x) =$ $3 e^{2 x} + \frac{1}{5} {(x + 1)}^{5} + C$