Математический анализ Примеры

$f (x, y) = x + y + x y$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (f (x, y)) = \frac{d}{d x} (x + y + x y)$

Этап 2

Умножим $f$ на каждый элемент матрицы.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)]$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $x + y + x y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$1 + y' + \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$1 + y' + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.4.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$1 + y' + x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + y' + x y' + y \cdot 1$

Этап 3.4.4

Умножим $y$ на $1$ .

$1 + y' + x y' + y$

Этап 3.5

Изменим порядок членов.

$x y' + y + 1 + y'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$\frac{d}{d x} ((f x, f y)) = x y' + y + 1 + y'$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $x y' + y + 1 + y' = \frac{d}{d x ((f x, f y))}$ .

$x y' + y + 1 + y' = \frac{d}{d x ((f x, f y))}$

Этап 5.2

Упростим $\frac{d}{d x ((f x, f y))}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $d$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$x y' + y + 1 + y' = \frac{d}{d x (f x, f y)}$

Этап 5.2.1.2

Перепишем это выражение.

$x y' + y + 1 + y' = \frac{1}{x ((f x, f y))}$

Этап 5.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Умножим $x$ на каждый элемент матрицы.

$x y' + y + 1 + y' = \frac{1}{(x (f x), x (f y))}$

Этап 5.2.2.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Перенесем $x$ .

$x y' + y + 1 + y' = \frac{1}{(x \cdot x f, x (f y))}$

Этап 5.2.2.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x y' + y + 1 + y' = \frac{1}{(x^{2} f, x (f y))}$

$x y' + y + 1 + y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)}$

Этап 5.3

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$x y' + 1 + y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)} - y$

Этап 5.3.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x y' + y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)} - y - 1$

Этап 5.4

Вынесем множитель $y'$ из $x y' + y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $y'$ из $x y'$ .

$y' x + y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)} - y - 1$

Этап 5.4.2

Возведем $y'$ в степень $1$ .

$y' x + y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)} - y - 1$

Этап 5.4.3

Вынесем множитель $y'$ из ${y'}^{1}$ .

$y' x + y' \cdot 1 = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)} - y - 1$

Этап 5.4.4

Вынесем множитель $y'$ из $y' x + y' \cdot 1$ .

$y' (x + 1) = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)} - y - 1$

Этап 5.5

Разделим каждый член $y' (x + 1) = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)} - y - 1$ на $x + 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Разделим каждый член $y' (x + 1) = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)} - y - 1$ на $x + 1$ .

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{\frac{1}{(x^{2} f, x f y)}}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1} + \frac{- 1}{x + 1}$

Этап 5.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{\frac{1}{(x^{2} f, x f y)}}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1} + \frac{- 1}{x + 1}$

Этап 5.5.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{\frac{1}{(x^{2} f, x f y)}}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1} + \frac{- 1}{x + 1}$

Этап 5.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)} \cdot \frac{1}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1} + \frac{- 1}{x + 1}$

Этап 5.5.3.1.2

Умножим $\frac{1}{(x^{2} f, x f y)}$ на $\frac{1}{x + 1}$ .

$y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y) (x + 1)} + \frac{- y}{x + 1} + \frac{- 1}{x + 1}$

Этап 5.5.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y) (x + 1)} - \frac{y}{x + 1} + \frac{- 1}{x + 1}$

Этап 5.5.3.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y) (x + 1)} - \frac{y}{x + 1} - \frac{1}{x + 1}$

Этап 5.5.3.2

Объединим в одну дробь.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y) (x + 1)} + \frac{- y - 1}{x + 1}$

Этап 5.5.3.2.2

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{(x^{2} f, x f y) (x + 1)} + \frac{- y - 1}{x + 1}$ .

$y' = \frac{1}{(x + 1) (x^{2} f, x f y)} + \frac{- y - 1}{x + 1}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{(x + 1) (x^{2} f, x f y)} + \frac{- y - 1}{x + 1}$