Математический анализ Примеры

$\int_{a}^{b} \frac{1}{b - a} x d x$

Этап 1

Объединим $\frac{1}{b - a}$ и $x$ .

$\int_{a}^{b} \frac{x}{b - a} d x$

Этап 2

Поскольку $\frac{1}{b - a}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{b - a}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} x d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{b - a} \frac{1}{2} x^{2}]_{a}^{b}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{1}{b - a} \frac{x^{2}}{2}]_{a}^{b}$

Этап 4.1.2

Объединим $\frac{1}{b - a}$ и $\frac{x^{2}}{2}]_{a}^{b}$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{2}]_{a}^{b}}{b - a}$

Этап 4.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $b$ и в $a$ .

$\frac{(\frac{b^{2}}{2}) - \frac{a^{2}}{2}}{b - a}$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Умножим $\frac{\frac{b^{2}}{2} - \frac{a^{2}}{2}}{b - a}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{b^{2}}{2} - \frac{a^{2}}{2}}{b - a}$

Этап 4.2.2.2

Объединим.

$\frac{2 (\frac{b^{2}}{2} - \frac{a^{2}}{2})}{2 (b - a)}$

Этап 4.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 \frac{b^{2}}{2} + 2 (- \frac{a^{2}}{2})}{2 (b - a)}$

Этап 4.2.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \frac{b^{2}}{2} + 2 (- \frac{a^{2}}{2})}{2 (b - a)}$

Этап 4.2.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{b^{2} + 2 (- \frac{a^{2}}{2})}{2 (b - a)}$

Этап 4.2.2.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{b^{2} - 2 \frac{a^{2}}{2}}{2 (b - a)}$

Этап 4.2.2.6

Объединим $- 2$ и $\frac{a^{2}}{2}$ .

$\frac{b^{2} + \frac{- 2 a^{2}}{2}}{2 (b - a)}$

Этап 4.2.2.7

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.7.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 a^{2}$ .

$\frac{b^{2} + \frac{2 (- a^{2})}{2}}{2 (b - a)}$

Этап 4.2.2.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{b^{2} + \frac{2 (- a^{2})}{2 (1)}}{2 (b - a)}$

Этап 4.2.2.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{b^{2} + \frac{2 (- a^{2})}{2 \cdot 1}}{2 (b - a)}$

Этап 4.2.2.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{b^{2} + \frac{- a^{2}}{1}}{2 (b - a)}$

Этап 4.2.2.7.2.4

Разделим $- a^{2}$ на $1$ .

$\frac{b^{2} - a^{2}}{2 (b - a)}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = b$ и $b = a$ .

$\frac{(b + a) (b - a)}{2 (b - a)}$

Этап 5.2

Сократим общий множитель $b - a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(b + a) (b - a)}{2 (b - a)}$

Этап 5.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{b + a}{2}$