Математический анализ Примеры

$\frac{x \sqrt{x} + \sqrt{x}}{x^{2}}$

Этап 1

Запишем $\frac{x \sqrt{x} + \sqrt{x}}{x^{2}}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{x \sqrt{x} + \sqrt{x}}{x^{2}}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{x \sqrt{x} + \sqrt{x}}{x^{2}} d x$

Этап 4

Вынесем множитель $\sqrt{x}$ из $x \sqrt{x} + \sqrt{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $\sqrt{x}$ из $x \sqrt{x}$ .

$\int \frac{\sqrt{x} x + \sqrt{x}}{x^{2}} d x$

Этап 4.2

Умножим на $1$ .

$\int \frac{\sqrt{x} x + \sqrt{x} \cdot 1}{x^{2}} d x$

Этап 4.3

Вынесем множитель $\sqrt{x}$ из $\sqrt{x} x + \sqrt{x} \cdot 1$ .

$\int \frac{\sqrt{x} (x + 1)}{x^{2}} d x$

Этап 5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int \sqrt{x} (x + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{x} (x + 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 5.2.1.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int \sqrt{x} (x + 1) x^{- 2} d x$

Этап 5.2.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x^{\frac{1}{2}} (x + 1) x^{- 2} d x$

Этап 5.2.3

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $x^{- 2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Перенесем $x^{- 2}$ .

$\int x^{- 2} x^{\frac{1}{2}} (x + 1) d x$

Этап 5.2.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{- 2 + \frac{1}{2}} (x + 1) d x$

Этап 5.2.3.3

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{- 2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}} (x + 1) d x$

Этап 5.2.3.4

Объединим $- 2$ и $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}} (x + 1) d x$

Этап 5.2.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int x^{\frac{- 2 \cdot 2 + 1}{2}} (x + 1) d x$

Этап 5.2.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.6.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$\int x^{\frac{- 4 + 1}{2}} (x + 1) d x$

Этап 5.2.3.6.2

Добавим $- 4$ и $1$ .

$\int x^{\frac{- 3}{2}} (x + 1) d x$

Этап 5.2.3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int x^{- \frac{3}{2}} (x + 1) d x$

Этап 6

Развернем $x^{- \frac{3}{2}} (x + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int x^{- \frac{3}{2}} x + x^{- \frac{3}{2}} \cdot 1 d x$

Этап 6.2

Изменим порядок $x^{- \frac{3}{2}}$ и $1$ .

$\int x^{- \frac{3}{2}} x + 1 \cdot x^{- \frac{3}{2}} d x$

Этап 6.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int x^{- \frac{3}{2}} x^{1} + 1 x^{- \frac{3}{2}} d x$

Этап 6.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{- \frac{3}{2} + 1} + 1 x^{- \frac{3}{2}} d x$

Этап 6.5

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\int x^{- \frac{3}{2} + \frac{2}{2}} + 1 x^{- \frac{3}{2}} d x$

Этап 6.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int x^{\frac{- 3 + 2}{2}} + 1 x^{- \frac{3}{2}} d x$

Этап 6.7

Добавим $- 3$ и $2$ .

$\int x^{\frac{- 1}{2}} + 1 x^{- \frac{3}{2}} d x$

Этап 6.8

Умножим $x^{- \frac{3}{2}}$ на $1$ .

$\int x^{\frac{- 1}{2}} + x^{- \frac{3}{2}} d x$

Этап 7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int x^{- \frac{1}{2}} + x^{- \frac{3}{2}} d x$

Этап 8

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Этап 9

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + C + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Этап 10

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{3}{2}}$ по $x$ имеет вид $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + C - 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим.

$2 x^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Этап 11.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Этап 11.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Этап 12

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{x \sqrt{x} + \sqrt{x}}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$