Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} (2 x - 1) (x + 2) d x$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{0}^{1} 2 x (x + 2) - 1 (x + 2) d x$

Этап 1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{0}^{1} 2 x \cdot x + 2 x \cdot 2 - 1 (x + 2) d x$

Этап 1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{0}^{1} 2 x \cdot x + 2 x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2 d x$

Этап 1.4

Перенесем $x$ .

$\int_{0}^{1} 2 x \cdot x + 2 \cdot 2 x - 1 x - 1 \cdot 2 d x$

Этап 1.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int_{0}^{1} 2 (x^{1} x) + 2 \cdot 2 x - 1 x - 1 \cdot 2 d x$

Этап 1.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int_{0}^{1} 2 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot 2 x - 1 x - 1 \cdot 2 d x$

Этап 1.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int_{0}^{1} 2 x^{1 + 1} + 2 \cdot 2 x - 1 x - 1 \cdot 2 d x$

Этап 1.8

Добавим $1$ и $1$ .

$\int_{0}^{1} 2 x^{2} + 2 \cdot 2 x - 1 x - 1 \cdot 2 d x$

Этап 1.9

Умножим $2$ на $2$ .

$\int_{0}^{1} 2 x^{2} + 4 x - 1 x - 1 \cdot 2 d x$

Этап 1.10

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\int_{0}^{1} 2 x^{2} + 4 x - 1 x - 2 d x$

Этап 1.11

Вычтем $1 x$ из $4 x$ .

$\int_{0}^{1} 2 x^{2} + 3 x - 2 d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{1} 2 x^{2} d x + \int_{0}^{1} 3 x d x + \int_{0}^{1} - 2 d x$

Этап 3

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} 3 x d x + \int_{0}^{1} - 2 d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 3 x d x + \int_{0}^{1} - 2 d x$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 3 x d x + \int_{0}^{1} - 2 d x$

Этап 6

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 3 \int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} - 2 d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} - 2 d x$

Этап 8

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} - 2 d x$

Этап 9

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + - 2 x]_{0}^{1}$

Этап 10

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $1$ и в $0$ .

$2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + - 2 x]_{0}^{1}$

Этап 10.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $1$ и в $0$ .

$2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + - 2 x]_{0}^{1}$

Этап 10.3

Найдем значение $- 2 x$ в $1$ и в $0$ .

$2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Этап 10.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Единица в любой степени равна единице.

$2 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Этап 10.4.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$2 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Этап 10.4.3

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.3.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$2 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Этап 10.4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$2 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Этап 10.4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Этап 10.4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$2 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Этап 10.4.3.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$2 (\frac{1}{3} - 0) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Этап 10.4.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$2 (\frac{1}{3} + 0) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Этап 10.4.5

Добавим $\frac{1}{3}$ и $0$ .

$2 (\frac{1}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Этап 10.4.6

Объединим $2$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{3} + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Этап 10.4.7

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{2}{3} + 3 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Этап 10.4.8

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{2}{3} + 3 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2}) + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Этап 10.4.9

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.9.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$\frac{2}{3} + 3 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Этап 10.4.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.9.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2}{3} + 3 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Этап 10.4.9.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{3} + 3 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Этап 10.4.9.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{3} + 3 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1}) + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Этап 10.4.9.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\frac{2}{3} + 3 (\frac{1}{2} - 0) + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Этап 10.4.10

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{2}{3} + 3 (\frac{1}{2} + 0) + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Этап 10.4.11

Добавим $\frac{1}{2}$ и $0$ .

$\frac{2}{3} + 3 (\frac{1}{2}) + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Этап 10.4.12

Объединим $3$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{3} + \frac{3}{2} + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Этап 10.4.13

Чтобы записать $\frac{2}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2} + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Этап 10.4.14

Чтобы записать $\frac{3}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{3} + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Этап 10.4.15

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.15.1

Умножим $\frac{2}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{3} + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Этап 10.4.15.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{6} + \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{3} + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Этап 10.4.15.3

Умножим $\frac{3}{2}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{6} + \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3} + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Этап 10.4.15.4

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{2 \cdot 2}{6} + \frac{3 \cdot 3}{6} + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Этап 10.4.16

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 \cdot 2 + 3 \cdot 3}{6} + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Этап 10.4.17

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.17.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 + 3 \cdot 3}{6} + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Этап 10.4.17.2

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{4 + 9}{6} + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Этап 10.4.17.3

Добавим $4$ и $9$ .

$\frac{13}{6} + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Этап 10.4.18

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{13}{6} - 2 + 2 \cdot 0$

Этап 10.4.19

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{13}{6} - 2 + 0$

Этап 10.4.20

Добавим $- 2$ и $0$ .

$\frac{13}{6} - 2$

Этап 10.4.21

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$\frac{13}{6} - 2 \cdot \frac{6}{6}$

Этап 10.4.22

Объединим $- 2$ и $\frac{6}{6}$ .

$\frac{13}{6} + \frac{- 2 \cdot 6}{6}$

Этап 10.4.23

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{13 - 2 \cdot 6}{6}$

Этап 10.4.24

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.24.1

Умножим $- 2$ на $6$ .

$\frac{13 - 12}{6}$

Этап 10.4.24.2

Вычтем $12$ из $13$ .

$\frac{1}{6}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{6}$

Десятичная форма:

$0.1\overline{6}$

Этап 12