Математический анализ Примеры

$(x^{2} - 3) e^{- x}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2} - 3$ и $g (x) = e^{- x}$ .

$(x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- x$ .

$(x^{2} - 3) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$(x^{2} - 3) (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- x$ .

$(x^{2} - 3) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} - 3) e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(x^{2} - 3) e^{- x} (- 1 \cdot 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Этап 3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$(x^{2} - 3) e^{- x} \cdot - 1 + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Этап 3.3.2

Перенесем $- 1$ влево от $(x^{2} - 3) e^{- x}$ .

$- 1 \cdot ((x^{2} - 3) e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Этап 3.3.3

Перепишем $- 1 (x^{2} - 3)$ в виде $- (x^{2} - 3)$ .

$- (x^{2} - 3) e^{- x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Этап 3.4

По правилу суммы производная $x^{2} - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$- (x^{2} - 3) e^{- x} + e^{- x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- (x^{2} - 3) e^{- x} + e^{- x} (2 x + \frac{d}{d x} [- 3])$

Этап 3.6

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$- (x^{2} - 3) e^{- x} + e^{- x} (2 x + 0)$

Этап 3.7

Добавим $2 x$ и $0$ .

$- (x^{2} - 3) e^{- x} + e^{- x} (2 x)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(- x^{2} - - 3) e^{- x} + e^{- x} (2 x)$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- x^{2} e^{- x} - - 3 e^{- x} + e^{- x} (2 x)$

Этап 4.3

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$- x^{2} e^{- x} + 3 e^{- x} + e^{- x} (2 x)$

Этап 4.4

Изменим порядок членов.

$- e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x} x + 3 e^{- x}$

Этап 4.5

Изменим порядок множителей в $- e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x} x + 3 e^{- x}$ .

$- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 3 e^{- x}$