Математический анализ Примеры

$\sum_{i = 1}^{\infty} \frac{1}{2} {(\frac{1}{3})}^{i - 1}$

Этап 1

Сумму бесконечного геометрического ряда можно найти по формуле $\frac{a}{1 - r}$ , где $a$ — первый член, а $r$ — отношение между последовательными членами.

Этап 2

Найдем отношение последовательных членов, подставив в формулу $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим $a_{i}$ и $a_{i + 1}$ в формулу для $r$ .

$r = \frac{\frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{i + 1 - 1}}{\frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{i - 1}}$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $\frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$r = \frac{\frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{i + 1 - 1}}{\frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{i - 1}}$

Этап 2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{i + 1 - 1}}{{(\frac{1}{3})}^{i - 1}}$

Этап 2.2.2

Сократим общий множитель ${(\frac{1}{3})}^{i + 1 - 1}$ и ${(\frac{1}{3})}^{i - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вынесем множитель ${(\frac{1}{3})}^{i - 1}$ из ${(\frac{1}{3})}^{i + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{i - 1} {(\frac{1}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{1}{3})}^{i - 1}}$

Этап 2.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Умножим на $1$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{i - 1} {(\frac{1}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{1}{3})}^{i - 1} \cdot 1}$

Этап 2.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{i - 1} {(\frac{1}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{1}{3})}^{i - 1} \cdot 1}$

Этап 2.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}}{1}$

Этап 2.2.2.2.4

Разделим ${(\frac{1}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}$ на $1$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}$

Этап 2.2.3

Добавим $i$ и $0$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{i - (i - 1)}$

Этап 2.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$r = {(\frac{1}{3})}^{i - i - - 1}$

Этап 2.2.4.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{i - i + 1}$

Этап 2.2.5

Вычтем $i$ из $i$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{0 + 1}$

Этап 2.2.6

Добавим $0$ и $1$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{1}$

Этап 2.2.7

Упростим.

$r = \frac{1}{3}$

Этап 3

Так как $| r | < 1$ , ряд сходится.

Этап 4

Найдем первый член ряда, подставив начальное значение и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $1$ вместо $i$ в $\frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{i - 1}$ .

$a = \frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{1 - 1}$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$a = \frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{0}$

Этап 4.2.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$a = \frac{1}{2} \cdot \frac{1^{0}}{3^{0}}$

Этап 4.2.3

Объединим.

$a = \frac{1 \cdot 1^{0}}{2 \cdot 3^{0}}$

Этап 4.2.4

Умножим $1$ на $1^{0}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Умножим $1$ на $1^{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1.1

Возведем $1$ в степень $1$ .

$a = \frac{1^{1} \cdot 1^{0}}{2 \cdot 3^{0}}$

Этап 4.2.4.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$a = \frac{1^{1 + 0}}{2 \cdot 3^{0}}$

Этап 4.2.4.2

Добавим $1$ и $0$ .

$a = \frac{1^{1}}{2 \cdot 3^{0}}$

Этап 4.2.5

Упростим $1^{1}$ .

$a = \frac{1}{2 \cdot 3^{0}}$

Этап 4.2.6

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$a = \frac{1}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.7

Умножим $2$ на $1$ .

$a = \frac{1}{2}$

Этап 5

Подставим знаменатель и первый член геометрической прогрессии в формулу суммы.

$\frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{3}}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{3}}$

Этап 6.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}$

Этап 6.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{3 - 1}{3}}$

Этап 6.2.3

Вычтем $1$ из $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2}{3}}$

Этап 6.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{2} (1 (\frac{3}{2}))$

Этап 6.4

Умножим $\frac{3}{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}$

Этап 6.5

Умножим $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 2}$

Этап 6.5.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{3}{4}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{3}{4}$

Десятичная форма:

$0.75$