Математический анализ Примеры

$f (x) = \sqrt{x}$ , $4 \leq x \leq 9$

Этап 1

Найдем критические точки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Этап 1.1.1.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Этап 1.1.1.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Этап 1.1.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Этап 1.1.1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Этап 1.1.1.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Этап 1.1.1.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Этап 1.1.1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.8.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.1.8.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 1.2.2

Приравняем числитель к нулю.

$1 = 0$

Этап 1.2.3

Поскольку $1 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 1.3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{1}{2 \sqrt{x^{1}}}$

Этап 1.3.1.2

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

Этап 1.3.2

Зададим знаменатель в $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$2 \sqrt{x} = 0$

Этап 1.3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(2 \sqrt{x})}^{2} = 0^{2}$

Этап 1.3.3.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 1.3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.2.1

Упростим ${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.2.1.1

Применим правило умножения к $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 1.3.3.2.2.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 1.3.3.2.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 1.3.3.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 1.3.3.2.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$4 x^{1} = 0^{2}$

Этап 1.3.3.2.2.1.4

Упростим.

$4 x = 0^{2}$

Этап 1.3.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$4 x = 0$

Этап 1.3.3.3

Разделим каждый член $4 x = 0$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.3.1

Разделим каждый член $4 x = 0$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 1.3.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.3.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 1.3.3.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Этап 1.3.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.3.3.1

Разделим $0$ на $4$ .

$x = 0$

Этап 1.3.4

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x}$ меньшим $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x < 0$

Этап 1.3.5

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Этап 1.4

Вычислим $\sqrt{x}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$\sqrt{0}$

Этап 1.4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1

Избавимся от скобок.

$\sqrt{0}$

Этап 1.4.1.2.2

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$\sqrt{0^{2}}$

Этап 1.4.1.2.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$0$

Этап 1.4.2

Перечислим все точки.

$(0, 0)$

Этап 2

Исключим точки, которые не принадлежат данному интервалу.

Этап 3

Вычислим на включенных конечных точках.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение в $x = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Подставим $4$ вместо $x$ .

$\sqrt{4}$

Этап 3.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Избавимся от скобок.

$\sqrt{4}$

Этап 3.1.2.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2}}$

Этап 3.1.2.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$2$

Этап 3.2

Найдем значение в $x = 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Подставим $9$ вместо $x$ .

$\sqrt{9}$

Этап 3.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Избавимся от скобок.

$\sqrt{9}$

Этап 3.2.2.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\sqrt{3^{2}}$

Этап 3.2.2.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$3$

Этап 3.3

Перечислим все точки.

$(4, 2), (9, 3)$

Этап 4

Сравним значения $f (x)$ , найденные для каждого значения $x$ , чтобы определить абсолютные максимум и минимум на заданном интервале. Максимум будет наблюдаться при наибольшем значении $f (x)$ , а минимум — при наименьшем значении $f (x)$ .

Абсолютный максимум: $(9, 3)$

Абсолютный минимум: $(4, 2)$

Этап 5