Математический анализ Примеры

$f (x) = - 4 \sqrt{x + 5} + 6$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $- 4 \sqrt{x + 5} + 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 4 \sqrt{x + 5}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 \sqrt{x + 5}] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 \sqrt{x + 5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 5}$ в виде ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.2.2

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 5$ .

$- 4 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 5]) + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$- 4 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 5]) + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 5$ .

$- 4 (\frac{1}{2} {(x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 5]) + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.2.4

По правилу суммы производная $x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$- 4 (\frac{1}{2} {(x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])) + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 4 (\frac{1}{2} {(x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [5])) + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.2.6

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 4 (\frac{1}{2} {(x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.2.7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- 4 (\frac{1}{2} {(x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.2.8

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$- 4 (\frac{1}{2} {(x + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.2.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 4 (\frac{1}{2} {(x + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.2.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.10.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 4 (\frac{1}{2} {(x + 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.2.10.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$- 4 (\frac{1}{2} {(x + 5)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.2.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 4 (\frac{1}{2} {(x + 5)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.2.12

Добавим $1$ и $0$ .

$- 4 (\frac{1}{2} {(x + 5)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.2.13

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 4 (\frac{{(x + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.2.14

Умножим $\frac{{(x + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ на $1$ .

$- 4 \frac{{(x + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.2.15

Перенесем ${(x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 \frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.2.16

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 4}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.2.17

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.2.18

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.18.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 ({(x + 5)}^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.2.18.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.2.18.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 2}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.2.19

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$- \frac{2}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + 0$

Этап 1.3.2

Добавим $- \frac{2}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ и $0$ .

$- \frac{2}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{2}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \frac{1}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.1.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Перепишем $\frac{1}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ в виде ${({(x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} {({(x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$

Этап 2.1.2.2

Перемножим экспоненты в ${({(x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}$

Этап 2.1.2.2.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{\frac{- 1}{2}}$

Этап 2.1.2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$

Этап 2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 5$ .

$f'' (x) = - 2 (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 5))$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - 2 (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 5))$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 5$ .

$f'' (x) = - 2 (- \frac{1}{2} \cdot {(x + 5)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 5))$

Этап 2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - 2 (- \frac{1}{2} \cdot {(x + 5)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 5))$

Этап 2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - 2 (- \frac{1}{2} \cdot {(x + 5)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 5))$

Этап 2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = - 2 (- \frac{1}{2} \cdot {(x + 5)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 5))$

Этап 2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f'' (x) = - 2 (- \frac{1}{2} \cdot {(x + 5)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 5))$

Этап 2.6.2

Вычтем $2$ из $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 (- \frac{1}{2} \cdot {(x + 5)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} (x + 5))$

Этап 2.7

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - 2 (- \frac{1}{2} \cdot {(x + 5)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x + 5))$

Этап 2.7.2

Объединим ${(x + 5)}^{- \frac{3}{2}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - 2 (- \frac{{(x + 5)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 5))$

Этап 2.7.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.3.1

Перенесем ${(x + 5)}^{- \frac{3}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 2 (- \frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 5))$

Этап 2.7.3.2

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 5))$

Этап 2.7.4

Объединим $\frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{2}{2 {(x + 5)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 5)$

Этап 2.7.5

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{2}{2 {(x + 5)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 5)$

Этап 2.7.6

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{1}{{(x + 5)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 5)$

Этап 2.8

По правилу суммы производная $x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{{(x + 5)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (5))$

Этап 2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{{(x + 5)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (5))$

Этап 2.10

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{{(x + 5)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (1 + 0)$

Этап 2.11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{{(x + 5)}^{\frac{3}{2}}} \cdot 1$

Этап 2.11.2

Умножим $\frac{1}{{(x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{{(x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- \frac{2}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $- 4 \sqrt{x + 5} + 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 4 \sqrt{x + 5}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 \sqrt{x + 5}] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 \sqrt{x + 5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 5}$ в виде ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 4.1.2.2

$- 4 \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 4.1.2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 5$ .

$- 4 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 5]) + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 4.1.2.3.2

$- 4 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 5]) + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 4.1.2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 5$ .

$- 4 (\frac{1}{2} {(x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 5]) + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 4.1.2.4

По правилу суммы производная $x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$- 4 (\frac{1}{2} {(x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])) + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 4.1.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 4 (\frac{1}{2} {(x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [5])) + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 4.1.2.6

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 4 (\frac{1}{2} {(x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 4.1.2.7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- 4 (\frac{1}{2} {(x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 4.1.2.8

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$- 4 (\frac{1}{2} {(x + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 4.1.2.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 4 (\frac{1}{2} {(x + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 4.1.2.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.10.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 4 (\frac{1}{2} {(x + 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 4.1.2.10.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$- 4 (\frac{1}{2} {(x + 5)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 4.1.2.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 4 (\frac{1}{2} {(x + 5)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 4.1.2.12

Добавим $1$ и $0$ .

$- 4 (\frac{1}{2} {(x + 5)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 4.1.2.13

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 4 (\frac{{(x + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 4.1.2.14

Умножим $\frac{{(x + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ на $1$ .

$- 4 \frac{{(x + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 4.1.2.15

Перенесем ${(x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 \frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 4.1.2.16

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 4}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 4.1.2.17

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 4.1.2.18

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.18.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 ({(x + 5)}^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 4.1.2.18.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 4.1.2.18.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 2}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 4.1.2.19

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$- \frac{2}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + 0$

Этап 4.1.3.2

Добавим $- \frac{2}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ и $0$ .

$f' (x) = - \frac{2}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{2}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{2}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{2}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{2}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 5.2

Приравняем числитель к нулю.

$2 = 0$

Этап 5.3

Поскольку $2 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$- \frac{2}{\sqrt{{(x + 5)}^{1}}}$

Этап 6.1.2

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$- \frac{2}{\sqrt{x + 5}}$

Этап 6.2

Зададим знаменатель в $\frac{2}{\sqrt{x + 5}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\sqrt{x + 5} = 0$

Этап 6.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{x + 5}}^{2} = 0^{2}$

Этап 6.3.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 5}$ в виде ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 6.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Упростим ${({(x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 6.3.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(x + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 6.3.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(x + 5)}^{1} = 0^{2}$

Этап 6.3.2.2.1.2

Упростим.

$x + 5 = 0^{2}$

Этап 6.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$x + 5 = 0$

Этап 6.3.3

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x = - 5$

Этап 6.4

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x + 5}$ меньшим $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x + 5 < 0$

Этап 6.5

Вычтем $5$ из обеих частей неравенства.

$x < - 5$

Этап 6.6

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x \leq - 5$

$(- \infty, - 5]$

$x \leq - 5$

$(- \infty, - 5]$

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = - 5$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = - 5$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{1}{{((- 5) + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Добавим $- 5$ и $5$ .

$\frac{1}{0^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.2

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$\frac{1}{{(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.3

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Этап 9.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Этап 9.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{0^{3}}$

Этап 9.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{0}$

Этап 9.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 10

Так как первая производная не изменила знак, локальные экстремумы отсутствуют.

Нет локальных экстремумов

Этап 11