Математический анализ Примеры

$\ln (x^{2} + 1)$

Этап 1

Запишем $\ln (x^{2} + 1)$ в виде функции.

$f (x) = \ln (x^{2} + 1)$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \ln (x^{2} + 1) d x$

Этап 4

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln (x^{2} + 1)$ и $d v = 1$ .

$\ln (x^{2} + 1) x - \int x \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $x$ и $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ .

$\ln (x^{2} + 1) x - \int \frac{x (2 x)}{x^{2} + 1} d x$

Этап 5.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\ln (x^{2} + 1) x - \int \frac{2 (x^{1} x)}{x^{2} + 1} d x$

Этап 5.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\ln (x^{2} + 1) x - \int \frac{2 (x^{1} x^{1})}{x^{2} + 1} d x$

Этап 5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\ln (x^{2} + 1) x - \int \frac{2 x^{1 + 1}}{x^{2} + 1} d x$

Этап 5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\ln (x^{2} + 1) x - \int \frac{2 x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

Этап 6

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\ln (x^{2} + 1) x - (2 \int \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} d x)$

Этап 7

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\ln (x^{2} + 1) x - 2 \int \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

Этап 8

Разделим $x^{2}$ на $x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Этап 8.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{2}$ .

							$1$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Этап 8.3

Умножим новое частное на делитель.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					+	$x^{2}$	+	$0$	+	$1$

Этап 8.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{2} + 0 + 1$ .

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$

Этап 8.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$
									-	$1$

Этап 8.6

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\ln (x^{2} + 1) x - 2 \int 1 - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Этап 9

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\ln (x^{2} + 1) x - 2 (\int d x + \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Этап 10

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\ln (x^{2} + 1) x - 2 (x + C + \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Этап 11

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (x^{2} + 1) x - 2 (x + C - \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Этап 12

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Изменим порядок $x^{2}$ и $1$ .

$\ln (x^{2} + 1) x - 2 (x + C - \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x)$

Этап 12.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\ln (x^{2} + 1) x - 2 (x + C - \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x)$

Этап 13

Интеграл $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\arctan (x) + C$ .

$\ln (x^{2} + 1) x - 2 (x + C - (\arctan (x) + C))$

Этап 14

Упростим.

$\ln (x^{2} + 1) x - 2 x + 2 \arctan (x) + C$

Этап 15

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \ln (x^{2} + 1)$ .

$F (x) =$ $\ln (x^{2} + 1) x - 2 x + 2 \arctan (x) + C$