Математический анализ Примеры

$\int_{- 5}^{9} \frac{2 {(2 x + 9)}^{\frac{1}{3}}}{3} d x$

Этап 1

Поскольку $\frac{2}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{2}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{2}{3} \int_{- 5}^{9} {(2 x + 9)}^{\frac{1}{3}} d x$

Этап 2

Пусть $u = 2 x + 9$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = 2 x + 9$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $2 x + 9$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 9]$

Этап 2.1.2

По правилу суммы производная $2 x + 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 2.1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 2.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 + 0$

Этап 2.1.4.2

Добавим $2$ и $0$ .

$2$

Этап 2.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 2 x + 9$ .

$u_{lower} = 2 \cdot - 5 + 9$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $2$ на $- 5$ .

$u_{lower} = - 10 + 9$

Этап 2.3.2

Добавим $- 10$ и $9$ .

$u_{lower} = - 1$

Этап 2.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 2 x + 9$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 9 + 9$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Умножим $2$ на $9$ .

$u_{upper} = 18 + 9$

Этап 2.5.2

Добавим $18$ и $9$ .

$u_{upper} = 27$

Этап 2.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 27$

Этап 2.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\frac{2}{3} \int_{- 1}^{27} u^{\frac{1}{3}} \frac{1}{2} d u$

Этап 3

Объединим $u^{\frac{1}{3}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{3} \int_{- 1}^{27} \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{2}{3} (\frac{1}{2} \int_{- 1}^{27} u^{\frac{1}{3}} d u)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{2 \cdot 3} \int_{- 1}^{27} u^{\frac{1}{3}} d u$

Этап 5.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{2}{6} \int_{- 1}^{27} u^{\frac{1}{3}} d u$

Этап 5.3

Сократим общий множитель $2$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (1)}{6} \int_{- 1}^{27} u^{\frac{1}{3}} d u$

Этап 5.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int_{- 1}^{27} u^{\frac{1}{3}} d u$

Этап 5.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int_{- 1}^{27} u^{\frac{1}{3}} d u$

Этап 5.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3} \int_{- 1}^{27} u^{\frac{1}{3}} d u$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{3}}$ по $u$ имеет вид $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{1}{3} \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}]_{- 1}^{27}$

Этап 7

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем значение $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ в $27$ и в $- 1$ .

$\frac{1}{3} ((\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Перепишем $27$ в виде $3^{3}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{4} \cdot {(3^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

Этап 7.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{4} \cdot 3^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

Этап 7.2.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3} (\frac{3}{4} \cdot 3^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

Этап 7.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3} (\frac{3}{4} \cdot 3^{4} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

Этап 7.2.4

Возведем $3$ в степень $4$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{4} \cdot 81 - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

Этап 7.2.5

Объединим $\frac{3}{4}$ и $81$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 81}{4} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

Этап 7.2.6

Умножим $3$ на $81$ .

$\frac{1}{3} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

Этап 7.2.7

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{3}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} {({(- 1)}^{3})}^{\frac{4}{3}})$

Этап 7.2.8

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})})$

Этап 7.2.9

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.9.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})})$

Этап 7.2.9.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{4})$

Этап 7.2.10

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$\frac{1}{3} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1)$

Этап 7.2.11

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4})$

Этап 7.2.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{243 - 3}{4}$

Этап 7.2.13

Вычтем $3$ из $243$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{240}{4}$

Этап 7.2.14

Сократим общий множитель $240$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.14.1

Вынесем множитель $4$ из $240$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{4 \cdot 60}{4}$

Этап 7.2.14.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.14.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{4 \cdot 60}{4 (1)}$

Этап 7.2.14.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{4 \cdot 60}{4 \cdot 1}$

Этап 7.2.14.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{60}{1}$

Этап 7.2.14.2.4

Разделим $60$ на $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 60$

Этап 7.2.15

Объединим $\frac{1}{3}$ и $60$ .

$\frac{60}{3}$

Этап 7.2.16

Сократим общий множитель $60$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.16.1

Вынесем множитель $3$ из $60$ .

$\frac{3 \cdot 20}{3}$

Этап 7.2.16.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.16.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 \cdot 20}{3 (1)}$

Этап 7.2.16.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 20}{3 \cdot 1}$

Этап 7.2.16.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{20}{1}$

Этап 7.2.16.2.4

Разделим $20$ на $1$ .

$20$

Этап 8