Математический анализ Примеры

$y = \arctan (\sqrt{x - 5})$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x - 5}$ в виде ${(x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan ({(x - 5)}^{\frac{1}{2}})]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \arctan (x)$ и $g (x) = {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как ${(x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.2

Производная $\arctan (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на ${(x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {({(x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3

Перемножим экспоненты в ${({(x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + {(x - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{1 + {(x - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{1 + {(x - 5)}^{1}} \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4

Упростим.

$\frac{1}{1 + x - 5} \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 5

Вычтем $5$ из $1$ .

$\frac{1}{x - 4} \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 6

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x - 5$ .

$\frac{1}{x - 4} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 5])$

Этап 6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x - 4} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Этап 6.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x - 5$ .

$\frac{1}{x - 4} (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Этап 7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x - 4} (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Этап 8

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x - 4} (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Этап 9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{x - 4} (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Этап 10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{x - 4} (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Этап 10.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{x - 4} (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Этап 11

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{x - 4} (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Этап 11.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x - 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x - 4} (\frac{{(x - 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Этап 11.3

Перенесем ${(x - 5)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x - 4} (\frac{1}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Этап 11.4

Умножим $\frac{1}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{1}{x - 4}$ .

$\frac{1}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}} (x - 4)} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Этап 12

По правилу суммы производная $x - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{1}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}} (x - 4)} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Этап 13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}} (x - 4)} (1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Этап 14

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}} (x - 4)} (1 + 0)$

Этап 15

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}} (x - 4)} \cdot 1$

Этап 15.2

Умножим $\frac{1}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}} (x - 4)}$ на $1$ .

$\frac{1}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}} (x - 4)}$