Математический анализ Примеры

$\frac{d}{d x} (arcsec (\sin (x)))$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = arcsec (x)$ и $g (x) = \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [arcsec (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 1.2

Производная $arcsec (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}}$ .

$\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x) \sqrt{\sin^{2} (x) - 1}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x) \sqrt{\sin^{2} (x) - 1}} \cos (x)$

Этап 3

Объединим $\frac{1}{\sin (x) \sqrt{\sin^{2} (x) - 1}}$ и $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) \sqrt{\sin^{2} (x) - 1}}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Изменим порядок членов.

$\frac{\cos (x)}{\sqrt{\sin^{2} (x) - 1} \sin (x)}$

Этап 4.2

Изменим порядок $\sin^{2} (x)$ и $- 1$ .

$\frac{\cos (x)}{\sqrt{- 1 + \sin^{2} (x)} \sin (x)}$

Этап 4.3

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\frac{\cos (x)}{\sqrt{- 1 (1) + \sin^{2} (x)} \sin (x)}$

Этап 4.4

Вынесем множитель $- 1$ из $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\sqrt{- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))} \sin (x)}$

Этап 4.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))$ .

$\frac{\cos (x)}{\sqrt{- 1 (1 - \sin^{2} (x))} \sin (x)}$

Этап 4.6

Перепишем $- 1 (1 - \sin^{2} (x))$ в виде $- (1 - \sin^{2} (x))$ .

$\frac{\cos (x)}{\sqrt{- (1 - \sin^{2} (x))} \sin (x)}$

Этап 4.7

Применим формулу Пифагора.

$\frac{\cos (x)}{\sqrt{- \cos^{2} (x)} \sin (x)}$

Этап 4.8

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Изменим порядок $- 1$ и $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\sqrt{\cos^{2} (x) \cdot - 1} \sin (x)}$

Этап 4.8.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x) \sqrt{- 1} \sin (x)}$

Этап 4.8.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x) i \sin (x)}$

Этап 4.9

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x) i \sin (x)}$

Этап 4.9.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{i \sin (x)}$

Этап 4.10

Разделим дроби.

$\frac{1}{i} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Этап 4.11

Переведем $\frac{1}{\sin (x)}$ в $\csc (x)$ .

$\frac{1}{i} \csc (x)$

Этап 4.12

Умножим числитель и знаменатель $\frac{1}{i}$ на комплексно сопряженное $i$ , чтобы сделать знаменатель вещественным.

$\frac{1}{i} \cdot \frac{i}{i} \csc (x)$

Этап 4.13

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.13.1

Объединим.

$\frac{1 i}{i i} \csc (x)$

Этап 4.13.2

Умножим $i$ на $1$ .

$\frac{i}{i i} \csc (x)$

Этап 4.13.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.13.3.1

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{i}{i^{1} i} \csc (x)$

Этап 4.13.3.2

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{i}{i^{1} i^{1}} \csc (x)$

Этап 4.13.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{i}{i^{1 + 1}} \csc (x)$

Этап 4.13.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{i}{i^{2}} \csc (x)$

Этап 4.13.3.5

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{i}{- 1} \csc (x)$

Этап 4.14

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{i}{- 1}$ .

$- 1 \cdot i \csc (x)$

Этап 4.15

Перепишем $- 1 \cdot i$ в виде $- i$ .

$- i \csc (x)$