Математический анализ Примеры

$9 (2 x + 1) {(x^{2} + x + 1)}^{8}$

Этап 1

Запишем $9 (2 x + 1) {(x^{2} + x + 1)}^{8}$ в виде функции.

$f (x) = 9 (2 x + 1) {(x^{2} + x + 1)}^{8}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int 9 (2 x + 1) {(x^{2} + x + 1)}^{8} d x$

Этап 4

Поскольку $9$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $9$ из-под знака интеграла.

$9 \int (2 x + 1) {(x^{2} + x + 1)}^{8} d x$

Этап 5

Пусть $u = x^{2} + x + 1$ . Тогда $d u = (2 x + 1) d x$ , следовательно $\frac{1}{2 x + 1} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = x^{2} + x + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $x^{2} + x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]$

Этап 5.1.2

По правилу суммы производная $x^{2} + x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 5.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x + 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 5.1.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 1 + 0$

Этап 5.1.6

Добавим $2 x + 1$ и $0$ .

$2 x + 1$

Этап 5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$9 \int u^{8} d u$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u^{8}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{9} u^{9}$ .

$9 (\frac{1}{9} u^{9} + C)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем $9 (\frac{1}{9} u^{9} + C)$ в виде $9 (\frac{1}{9}) u^{9} + C$ .

$9 (\frac{1}{9}) u^{9} + C$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Объединим $9$ и $\frac{1}{9}$ .

$\frac{9}{9} u^{9} + C$

Этап 7.2.2

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9}{9} u^{9} + C$

Этап 7.2.2.2

Перепишем это выражение.

$1 u^{9} + C$

Этап 7.2.3

Умножим $u^{9}$ на $1$ .

$u^{9} + C$

Этап 8

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + x + 1$ .

${(x^{2} + x + 1)}^{9} + C$

Этап 9

Ответ ― первообразная функции $f (x) = 9 (2 x + 1) {(x^{2} + x + 1)}^{8}$ .

$F (x) =$ ${(x^{2} + x + 1)}^{9} + C$